Zadanie maturalne nr 13, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Treść zadania:
Dany jest trójmian kwadratowy \(f(x)=(m+1)x^2+2(m-2)x-m+4\). Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których trójmian \(f\) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste \(x_1, x_2\), spełniające warunek \(x_1^2-x_2^2=x_1^4-x_2^4\).
Rozwiązanie zadania
Wyznaczamy dziedzinę równania kwadratowego. Współczynnik przy \(x^2\) musi być różny od zera:
\(m+1\neq 0\)
\(D: m\neq -1\)
Oznaczmy wszystkie współczynniki i obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego, który musi być dodatni, aby trójmian miał dwa różne pierwiastki:
\(a=m+1\)
\(b=2(m-2)\)
\(c=-m+4\)
\(\Delta=b^2-4ac=(2(m-2))^2-4(m+1)(-m+4)>0\)
\(4(m^2-4m+4)+4(m^2-3m-4)>0/:4\)
\(2m^2-7m>0/:2\)
\(m^2-\frac{7}{2}m>0\)
\(m(m-\frac{7}{2})>0\)
\(m\in (-\infty;0)\cup(\frac{7}{2};\infty)\)
Pamiętamy jednocześnie, że \(m≠-1\). Zajmijmy się teraz warunkiem na pierwiastki równania. Nieco je przekształcimy:
\(x_1^2-x_2^2=x_1^4-x_2^4\)
\((x_1-x_2)(x_1+x_2)=(x_1^2)^2-(x_2^2)^2\)
\((x_1-x_2)(x_1+x_2)=(x_1^2-x_2^2)(x_1^2+x_2^2)\)
\((x_1-x_2)(x_1+x_2)=(x_1-x_2)(x_1+x_2)(x_1^2+x_2^2)\)
\((x_1-x_2)(x_1+x_2)-(x_1-x_2)(x_1+x_2)(x_1^2+x_2^2)=0\)
\((x_1-x_2)(x_1+x_2)(1-(x_1^2+x_2^2))=0\)
\(x_1-x_2=0 \vee x_1+x_2=0 \vee 1-(x_1^2+x_2^2)=0\)
Rozwiązujemy więc dalej trzy równania, sprawdzając, czy wynik należy do dziedziny \(D\).
I równanie:
Ten przypadek nas nie interesuje z uwagi na to, że założeniem zadania jest, aby trójmian miał różne pierwiastki.
II równanie rozwiążemy, korzystając ze wzorów Viete'a:
\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)
\(x_1\cdot{x_2}=\frac{c}{a}\)
\(x_1+x_2=0\)
\(-\frac{b}{a}=0\)
\(\frac{-2(m-2)}{m+1}=0\)
\(m-2=0\)
\(m=2\not\in D\)
III równanie rozwiążemy, korzystając również ze wzorów Viete'a
Odpowiedź
\(m=\frac{12+\sqrt{109}}{5}\)© medianauka.pl, 2017-01-10, ZAD-3371
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Dla jakich wartości parametru \(m\) suma odwrotności pierwiastków równania \(x^2-2(m+1)x+(m^2+3m-18)=0\) ma wartość ujemną?
Zadanie nr 2.
Kwadrat różnicy pierwiastków równania kwadratowego \(x^2-x+m=0\) jest równy 17. Znaleźć rozwiązanie tego równania.
Zadanie nr 3.
Suma kwadratów pierwiastków równania kwadratowego \(x^2+dx+1=0\) jest równa 7. Znaleźć rozwiązanie tego równania.
Zadanie nr 4.
Znaleźć równanie kwadratowe, którego suma kwadratów pierwiastków jest równa \(\frac{17}{4}\), a suma odwrotności pierwiastków jest równa \(\frac{3}{2}\).
Zadanie nr 5.
Rozwiązać równanie kwadratowe \(x^2+mx-3=0\), jeśli wiadomo, że suma odwrotności pierwiastków równania jest równa 2.
Zadanie nr 6 — maturalne.
Dany jest trójmian kwadratowy \(f(x)=x^2+2(m+1)x+6m+1\). Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru m, dla których ten trójmian ma dwa różne pierwiastki \(x_1\), \(x_2\) tego samego znaku, spełniające warunek \(|x_1-x_2|<3\).
Zadanie nr 7 — maturalne.
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \(4x^2−6mx+(2m+ 3)(m− 3)=0\) ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1\) i \(x_2\), przy czym \(x_1<x_2\), spełniające warunek \((4x_1-4x_2-1)(4x_1-4x_2+1)<0\).
Zadanie nr 8 — maturalne.
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \(x^2 + (m+1)x−m^2+1=0\) ma dwa rozwiązania rzeczywiste \(x_1\) i \(x_2\) \((x_1\neq x_2)\), spełniające warunek \(x^3_1+x^3_2>−7x_1x_2\).
Zadanie nr 9 — maturalne.
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których funkcja kwadratowa \(f\) określona wzorem \(f(x)=(2m +1)x^2+(m+2)x+m−3\) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste \(x_1, x_2\), spełniające warunek \((x_1- x_2)^2+5x_1x_2 \geq 1\).
Zadanie nr 10 — maturalne.
Dane jest równanie kwadratowe \(x^2−(3m+2)x+2m^2+7m−15=0\) z niewiadomą \(x\). Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których różne rozwiązania \(x_1\) i \(x_2\)tego równania istnieją i spełniają warunek \(2x^2_1+5x_1x_2+2x^2_2=2\).
Zadanie nr 11 — maturalne.
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \(x^2-(m+1)x+m=0\) ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1\) oraz \(x_2\), spełniające warunki: \(x_1\neq 0, x_2\neq 0\) oraz \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+2=\frac{1}{x_1^2} +\frac{1}{x_2^2}\).
Zadanie nr 12 — maturalne.
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\neq 2\), dla których równanie
\(x^2+4x-\frac{m-3}{m-2}=0\)
ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1, x_2\) spełniające warunek \(x_1^3+x_2^3>-28\). Zapisz obliczenia.