Zadanie maturalne nr 16, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Treść zadania:
Rozpatrujemy wszystkie stożki, których przekrojem osiowym jest trójkąt o obwodzie 20. Oblicz wysokość i promień podstawy tego stożka, którego objętość jest największa. Oblicz objętość tego stożka.
Rozwiązanie zadania
Sporządzamy szkic:
Objętość stożka wyraża sie wzorem:
W przekroju osiowym mamy trójkąt równoramienny. Jego obwód jest równy \(20\), zatem:
\(2r+2l=20\)
\(r+l=10\)
l=10-r\)
Skorzystamy teraz z twierdzenia Pitagorasa:
\(r^2+h^2=l^2\)
\(r^2=l^2-h^2\)
\(r^2=(10-r)^2-h^2\)
\(r^2=100-20r+r^2-h^2\)
\(h^2=100-20r\)
\(h=\sqrt{100-20r}\)
Aby badać objętość stożka, musimy wyrazić ja za pomocą jednej zmiennej, załóżmy \(r\). Określmy też wówczas dziedzinę tak uzyskanej funkcji. Wiemy, ze \(r>0\). Ponadto zauważamy, że \(r<5\), gdyż w tym przypadku średnica podstawy jest równa \(10\), \(l=5\), a wysokość \(h=0\). Mamy więc:
\(V(r)=\frac{1}{3}\pi r^2\sqrt{100-20r}\)
\(V(r)=\frac{1}{3}\pi \sqrt{100r^4-20r^5}\)
Wprowadzimy funkcje pomocniczą:
\(f(r)=100r^4-20r^5\)
funkcje \(V\) oraz \(f\) są rosnące lub malejące w tych samych przedziałach oraz mają ekstrema lokalne tego samego rodzaju dla tych samych argumentów. Wyznaczamy wartość największą funkcji \(f\) w przedziale \((0;5)\).
\(f'(r)=400r^3-100r^4=0\)
\(100r^3(4-r)=0/:100\)
\(r^3(r-4)=0\)
Funkcja ma dwa miejsca zerowe: \(r=0\) i \(r=4\), ale \(r=0\) nie należy do naszej dziedziny \((0<r<5)\). w punkcie \(r=4\) ma ekstremum. Ponadto \(f'(r)>0\) gdy \(r-4>0\) (sprzeczność ze względu na naszą dziedzinę) lub \(r-4<0\), czyli \(r<4\) oraz \(f'(r)<0\), gdy \(r>4\). Wynika stąd, że dla \(x=4\) funkcja \(f\) ma maksimum lokalne, które jest jednocześnie największą wartością funkcji \(V\), bo w przedziale \((0, 4]\) funkcja \(f\) jest rosnąca, a przedziale \([4,0)\) funkcja \(f\) jest malejąca.
\(r=4\)
\(h=\sqrt{100-20\cdot 4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\)
\(V(4)=\frac{1}{3}\pi \cdot 4^2\sqrt{100-4\cdot 20}=\frac{16\pi}{3}\cdot 2\sqrt{5}=\frac{32\pi\sqrt{5}}{3}\)
Odpowiedź
\(r=4\)
\(h=2\sqrt{5}\)
\(V(4)=\frac{32\pi\sqrt{5}}{3}\)
© medianauka.pl, 2017-01-11, ZAD-3374
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Rzucony kamień zakreśla w powietrzu tor opisany równaniem \(y=x-x^2\). Jakie jest maksymalne wzniesienia kamienia?
Zadanie nr 2.
Jakie wymiary powinna mieć metalowa puszka w kształcie walca, aby przy określonej pojemności \(V\) zużyć możliwie najmniej blachy do jej wykonania?
Zadanie nr 3 — maturalne.
Parabola o równaniu \(y=2-\frac{1}{2}x^2\) przecina oś \(Ox\) układu współrzędnych w punktach \(A=(- 2,0)\) i \(B=(2,0)\). Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne \(ABCD\), których dłuższą podstawą jest odcinek \(AB\), a końce \(C\) i \(D\) krótszej podstawy leżą na paraboli (zobacz rysunek).
Wyznacz pole trapezu \(ABCD\) w zależności od pierwszej współrzędnej wierzchołka \(C\). Oblicz współrzędne wierzchołka \(C\) tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe.
Zadanie nr 4 — maturalne.
Należy zaprojektować wymiary prostokątnego ekranu smartfona, tak aby odległości tego ekranu od krótszych brzegów smartfona były równe 0,5 cm każda, a odległości tego ekranu od dłuższych brzegów smartfona były równe 0,3 cm każda (zobacz rysunek – ekran zaznaczono kolorem szarym). Sam ekran ma mieć powierzchnię 60 cm2. Wyznacz takie wymiary ekranu smartfona, przy których powierzchnia ekranu wraz z obramowaniem jest najmniejsza.
Zadanie nr 5 — maturalne.
Pewien zakład otrzymał zamówienie na wykonanie prostopadłościennego zbiornika (całkowicie otwartego od góry) o pojemności 144 m3. Dno zbiornika ma być kwadratem. Żaden z wymiarów zbiornika (krawędzi prostopadłościanu) nie może przekraczać 9 metrów.
Całkowity koszt wykonania zbiornika ustalono w następujący sposób:
– 100 zł za 1 m2 dna
– 75 zł za 1 m2 ściany bocznej.
Oblicz wymiary zbiornika, dla którego tak ustalony koszt wykonania będzie najmniejszy.
Zadanie nr 6 — maturalne.
Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne o obwodzie równym 18.
a) Wykaż, że pole \(P\) każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości \(b\) ramienia, wyraża się wzorem \(P(b)=\frac{(18-2b)\cdot \sqrt{18b-81}}{2}\).
b) Wyznacz dziedzinę funkcji \(P)\.
c) Oblicz długości boków tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole.