Nauka » Matematyka » Równanie wielomianowe

Zadanie maturalne nr 27, matura 2014

Treść zadania:

Rozwiąż równanie $9x^3+18x^2-4x-8=0$.

Rozwiązanie zadania

Jeżeli współczynniki wielomianu $W(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+..+a_{1}x+a_0$, gdzie $a_n\neq{0}$ są liczbami całkowitymi i wielomian ma miejsce zerowe $r$, to $r$ jest dzielnikiem wyrazu wolnego $a_0$.

Szukajmy więc pierwiastków pośród dzielników liczby $-8$:

$W(1)=9+18-4-8=27-12\neq 0$

$W(-1)=-9+18+4-8\neq 0$

$W(2)=72+72-8-8\neq 0$

$W(-2)=-72+72+8-8=0$

Liczba $(-2)$ jest pierwiastkiem naszego wielomianu. Wielomian $W(x)$ dzieli się więc bez reszty przez $(x+2)$:

$\quad (9x^3+18x^2-4x-8):(x+2)=9x^2-4\\\underline{-9x^3-18x^2}\\\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad -4x-8\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \underline{4x+8}\\\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad 0$

Możemy więc zapisać nasze równanie w postaci:

$9x^3+18x^2-4x-8=0$

$(9x^2-4)(x+2)=0$

$9(x^2-\frac{4}{9})(x+2)=0/:9$

(x-\frac{2}{3})(x+\frac{2}{3})(x+2)=0\)

Skorzystaliśmy tu ze wzoru skróconego mnożenia:

$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$

Z tej postaci iloczynowej wielomianu wprost odczytujemy rozwiązanie naszego równania.

Odpowiedź

$x=\frac{2}{3}, x=-\frac{2}{3}, x=-2$

Matura z matematyki

Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.

Zbiór zadań z matematyki

Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.

WYKRESY ONLINE

Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne

Zadanie nr 1.

Rozwiązać równanie wykładnicze $(\frac{1}{2})^{x-1}-2^{2x}-1=0$.