Zadanie maturalne nr 28, matura 2014
Treść zadania:
Udowodnij, że każda liczba całkowita \(k\), która przy dzieleniu przez \(7\) daje resztę \(2\), ma tę własność, że reszta z dzielenia liczby \(3k^2\) przez \(7\) jest równa \(5\).
Rozwiązanie zadania
Jak zapisać zdanie, że każda liczba całkowita \(k\), która przy dzieleniu przez \(7\) daje resztę \(2\)? Zróbmy to w następujący sposób:
\(\frac{k}{7}=m+\frac{R}{7}\)
Powyższy zapis oznacza, że jeżeli liczbę całkowitą \(k\) podzielimy przez \(7\), to otrzymamy jakąś liczbę całkowitą \(m\) i pewną część pozostałą z dzielenia \((R/7)\), gdzie \(R\) oznacza resztę. Wiemy że \(R=2\). Przekształćmy nieco powyższe równanie:
\(\frac{k}{7}=m+\frac{2}{7}/\cdot 7\)
\(k=7m+2\)
Równie dobrze od razu mogliśmy zapisać powyższy wzór. Zapis \(k=7m+2\) oznacza, że liczba \(k\) jest podzielna przez \(7\) z resztą równą \(2\).
Zajmijmy się teraz wyrażeniem \(3k^2\).
\(3k^2=3(7m+2)^2=3(49m^2+28m+4)=3\cdot 7\cdot 7m^2+3\cdot7\cdot 4m+12=\)
\(=7\cdot 21m^2+7\cdot 12 m+7+5=7(21m^2+12m+1)+5=7M+5\)
Otrzymaliśmy postać, z której wynika, że przy podzieleniu \(3k^2\) przez \(7\) (przy założeniu, że reszta z dzielenia \(k\) przez \(7\) daje \(2\)) otrzymujemy zawsze resztę z dzielenia równą \(5\), co kończy dowód.
© medianauka.pl, 2017-02-05, ZAD-3451
Zadania podobne
Zadanie nr 1 — maturalne.
Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej \(k\) i dla każdej liczby całkowitej \(m\) liczba \(k^3m−km^3\) jest podzielna przez \(6\).
Zadanie nr 2 — maturalne.
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\) liczba \((2n+1)^2-1\) jest podzielna przez \(8\).