zadanie maturalne

Zadanie maturalne nr 34, matura 2014

Treść zadania:

Kąt \(CAB\) trójkąta prostokątnego \(ACB\) ma miarę \(30°\). Pole kwadratu \(DEFG\), wpisanego w ten trójkąt (zobacz rysunek), jest równe 4. Oblicz pole trójkąta \(ACB\).

rysunek do zadania 34, matura 2014


ksiązki Rozwiązanie zadania

Niech a oznacza długość boku kwadratu \(DEFG\). Ponieważ pole tego kwadratu jest równe \(4\), długość boku jest równa \(a=2\).

Trójkąt \(ADE\) to „połowa trójkąta równobocznego” o boku \(AD\) i wysokości \(AE\). Ponieważ kąt \(DAE\) ma miarę 30°, stąd wniosek o tym że opisywany trójkąt jest równoboczny (suma miar kątów w trójkącie jest równa 180°). Mamy więc:

\(|AD|=2a=4\)

\(|AE|-\frac{|AD|\sqrt{3}}{2}=\frac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\)

Skorzystaliśmy tutaj ze wzoru na wysokość w trójkącie równobocznym:

\(d=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

Trójkąt \(GBF\) to „połowa trójkąta równobocznego” o boku \(BG\) i wysokości \(FG\), więc:

\(|BG|-2|BF|\)

\(|FG|=\frac{|BG|\sqrt{3}}{2}\)

Stąd:

\(2=\frac{|BG|\sqrt{3}}{2}\)

\(\|BG|=\frac{4}{\sqrt{3}}\)

\(|BF|=\frac{1}{2}|BG|=\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{\sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}\)

Obliczamy \(|AB|\):

\(|AB|=|AE|+|EF|+|BF|=\)

\(=2\sqrt{3}+2+\frac{2}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}+2+\frac{2\sqrt{3}}{3}=\frac{8}{3}\sqrt{3}+2\)

Trójkąt \(ACB\) jest „połową trójkąta równobocznego” o boku \(AB\). Zatem

\(|BC|=\frac{1}{2}|AB|\)

\(|CD|=\frac{\sqrt{3}}{2}|AB|\)

Możemy już teraz przystąpić do obliczenia pola naszego trójkąta:

\(P=\frac{1}{2}|AC||BC|=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}|AB|\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}|AB|=\frac{\sqrt{3}}{8}|AB|^2\)

\(P=\frac{\sqrt{3}}{8}(\frac{8}{3}\sqrt{3}+2)^2=\frac{\sqrt{3}}{8}(\frac{64}{9}\cdot 3+\frac{32}{3}\sqrt{3}+4)=\frac{19\sqrt{3}}{6}+4\)

ksiązkiOdpowiedź

\(P=\frac{19\sqrt{3}}{6}+4\)

© medianauka.pl, 2017-02-05, ZAD-3457

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Obliczyć pole i obwód trójkąta prostokątnego, wyznaczonego przez punkty \(A=(1,2), B=(1,3), C=(4,1)\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Oblicz pole powierzchni i obwód trójkąta równobocznego o wysokości \(h=2 cm\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Środki trójkąta równobocznego o boku długości 2 połączono ze sobą tak, że powstał mniejszy trójkąt wewnątrz większego. Obliczyć jego pole.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Ceny poszczególnych działek są następujące:

A. 60 000 PLN

B. 50 000 PLN

C. 50 000 PLN

D. 100 000 PLN

Zakup której działki jest najbardziej opłacalny?

Twierdzenie Pitagorasa - zadanie

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Dany jest trójkąt o bokach długości 2, 3 i 4. Oblicz pole powierzchni tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Wektory \(\vec{a}=[1,2], \vec{b}=[-3,4]\) wyznaczają trójkąt. Obliczyć jego pole.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Dany jest wektor \(\vec{AB}=[2,5]\) zaczepiony w punkcie \(A=(1,1)\). Znaleźć taki punkt \(C\), leżący na prostej \(y=2\), że pole trójkąta \(ABC\) jest równe 10.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8.

Dany jest trójkąt równoramienny o ramionach długości 5 i kącie wewnętrznym między tymi ramionami \(\alpha=30°\). Oblicz pole powierzchni tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 9.

Na trójkącie o polu równym 6 i o bokach o długości 2, 3 i 4 opisano okrąg. Oblicz długość promienia tego okręgu.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 10.

Dany jest trójkąt \(A, B, C\) o wierzchołkach \(A=(-1,1), B=(2,1), C=(-2,-1)\). Oblicz jego pole.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 11.

Z kwadratu o boku a wycięto trójkąt tak, że jeden z jego wierzchołków stanowi środek boku kwadratu, a jeden z boków tego trójkąta stanowi bok kwadratu. Czy pole ścinków jest większe od pola trójkąta?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 12.

W trójkąt równoramienny o polu \(\sqrt{15}\) wpisano okrąg o promieniu \(r=\frac{\sqrt{15}}{5}\). Na tym samy trójkącie opisano okrąg o promieniu \(R=\frac{8\sqrt{15}}{15}\). Oblicz długości boków tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 13 — maturalne.

Okręgi o promieniach 3 i 4 są styczne zewnętrznie. Prosta styczna do okręgu o promieniu 4 w punkcie \(P\) przechodzi przez środek okręgu o promieniu 3 (zobacz rysunek).

ilustracja do zadania

Pole trójkąta, którego wierzchołkami są środki okręgów i punkt styczności \(P\), jest równe:

A. \(14\)

B. \(2\sqrt{33}\)

C. \(4\sqrt{33}\)

D. \(12\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 14 — maturalne.

Obwód trójkąta \(ABC\), przedstawionego na rysunku, jest równy:

A. \(3+\frac{\sqrt{3}}{2}\)

B. \(2+\frac{\sqrt{2}}{2}\)

C. \(3+\sqrt{3}\)

D. \((2+\sqrt{2}\)

Ilustracja do zadania

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 15 — maturalne.

W trójkącie ostrokątnym \(ABC\) bok \(AB\) ma długość \(c\), długość boku \(BC\) jest równa a oraz \(\angle ABC=\beta\). Dwusieczna kąta \(ABC\) przecina bok \(AC\) trójkąta w punkcie \(E\). Wykaż, że długość odcinka \(BE\) jest równa \(\frac{2ac\cdot \cos{\frac{\beta}{2}}}{a+c}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 16 — maturalne.

W trójkącie równoramiennym wysokość opuszczona na podstawę jest równa 36, a promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy 10. Oblicz długości boków tego trójkąta i promień okręgu opisanego na tym trójkącie.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 17 — maturalne.

Przyprostokątna \(AC\) trójkąta prostokątnego ABC ma długość 8 oraz \(tg\alpha=\frac{2}{5}\) (zobacz rysunek).

Zadanie 18, matura 2021

Pole tego trójkąta jest równe

A. \(12\)

B. \(\frac{37}{3}\)

C. \(\frac{62}{5}\)

D. \(\frac{64}{5}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 18 — maturalne.

Punkty \(A=(−20, 12)\) i \(B=(7, 3)\) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego ABC, w którym \(|AC|=|BC|\). Wierzchołek \(C\) leży na osi \(Oy\) układu współrzędnych. Oblicz współrzędne wierzchołka \(C\) oraz obwód tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 19 — maturalne.

Dany jest trójkąt równoboczny \(ABC\). Na bokach \(AB\) i \(AC\) wybrano punkty — odpowiednio — \(D\) i \(E\) takie, że \(|BD|=|AE=\frac{1}{3}|AB|\). Odcinki \(CD\) i \(BE\) przecinają się w punkcie \(P\) (zobacz rysunek).

Matura 2021, zadanie 8

Wykaż, że pole trójkąta \(DBP\) jest 21 razy mniejsze od pola trójkąta \(ABC\).

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.