Zadanie - Działania na potęgach - Uprościć wyrażenie
Treść zadania:
Uprościć wyrażenie:
\(\Large \frac{6^{\frac{4}{3}}\cdot (\frac{3}{8})^{0,25}\cdot 2^{-0,(3)}\cdot (\frac{3}{2})^{\frac{3}{5}}}{2^{\frac{3}{20}}\cdot 3^{\frac{11}{60}}}\)
Rozwiązanie zadania
Kiedy obliczamy wartość skomplikowanego wyrażenia warto robić to etapami. Wówczas trudniej się pomylić w rachunkach. Zanim też zacznie się rachunki trzeba chwilę przyjrzeć się wyrażeniu i szukać metody rozwiązania.
Mamy następujące wyrażenie:
\(\Large \frac{6^{\frac{4}{3}}\cdot (\frac{3}{8})^{0,25}\cdot 2^{-0,(3)}\cdot (\frac{3}{2})^{\frac{3}{5}}}{2^{\frac{3}{20}}\cdot 3^{\frac{11}{60}}}\)
Etap I
Aby działać na potęgach musimy mieć takie same podstawy albo takie same wykładniki. W naszym wyrażeniu pojawiają się najczęściej w podstawie liczby 2 i 3. Trzeba więc liczby 6 i 8 wyrazić w postaci tych pozostałych liczb:
\(8=2^3\)
\(6=2\cdot 3\)
Nasze wyrażenie przyjmuje postać:
\(\Large \frac{(2\cdot 3)^{\frac{4}{3}}\cdot (\frac{3}{2^3})^{0,25}\cdot 2^{-0,(3)}\cdot (\frac{3}{2})^{\frac{3}{5}}}{2^{\frac{3}{20}}\cdot 3^{\frac{11}{60}}}\)Etap II
Wykładnikami potęg są ułamki zwykłe oraz ułamki dziesiętne. Warto zdecydować się na jeden typ. Mamy przewagę ułamków zwykłych, więc zamienimy ułamki dziesiętne na zwykłe
\(0,25=\frac{1}{4}\)
\(-0,(3)=0,333...=-\frac{1}{3}\)
Jeśli nie wiesz, jak zamienić ułamek okresowy na zwykły zajrzyj do artykułu na temat sumy szeregu geometrycznego lub prostszego sposobu w artykule na temat liczb wymiernych. Przytoczymy tutaj łatwiejszy sposób:
\(x=0,333...\)
\(10x=3,333...\)
Drugie równanie otrzymaliśmy, mnożąc pierwsze przez 10. Odejmujemy stronami równania i otrzymujemy:
\(9x=3 /:9\)
\(x=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\)
Podstawiamy te liczby do naszego wyrażenia i otrzymujemy:
\(\Large \frac{(2\cdot 3)^{\frac{4}{3}}\cdot (\frac{3}{2^3})^{\frac{1}{4}}\cdot 2^{-\frac{1}{3}}\cdot (\frac{3}{2})^{\frac{3}{5}}}{2^{\frac{3}{20}}\cdot 3^{\frac{11}{60}}}\)Etap III
Wykonujemy potęgowanie iloczynu i ilorazu, według wzorów
\((a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n\)
\( (\frac{a}{b})^n= \frac{a^n}{b^n}, \ b\neq 0\)
Mamy więc:
\((2\cdot 3)^{\frac{4}{3}}=2^{\frac{4}{3}}\cdot 3^{\frac{4}{3}}\)
\((\frac{3}{2^3})^{\frac{1}{4}} = \frac{3^{\frac{1}{4}}}{(2^3)^{\frac{1}{4}}} = \frac{3^{\frac{1}{4}}}{2^{\frac{3}{4}}}\)
Zastosowaliśmy tutaj dodatkowo wzór
\((\frac{3}{2})^{\frac{3}{5}}= \frac{3^{\frac{3}{5}}}{2^{\frac{3}{5}}}\)
Podstawiamy te wartości do naszego wyrażenia i otrzymujemy:
\(\Large \frac{2^{\frac{4}{3}}\cdot 3^{\frac{4}{3}}\cdot \frac{3^{\frac{1}{4}}}{2^{\frac{3}{4}}}\cdot 2^{-\frac{1}{3}}\cdot \frac{3^{\frac{3}{5}}}{2^{\frac{3}{5}}}}{2^{\frac{3}{20}}\cdot 3^{\frac{11}{60}}}\)korzystajmy jeszcze ze wzoru
Pozbywamy się ułamków w liczniku naszego wyrażenia.
\(\frac{3^{\frac{1}{4}}}{2^{\frac{3}{4}}}=3^{\frac{1}{4}}\cdot 2^{-\frac{3}{4}}\)
\(\frac{3^{\frac{3}{5}}}{2^{\frac{3}{5}}}=3^{\frac{3}{5}}\cdot 2^{-\frac{3}{5}}\)
Po podstawieniu powyższych przekształceń do naszego wyrażenia otrzymamy:
Etap IV
Grupujemy potęgi o tych samych podstawach i stosujemy wzór
\(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\)\(\Large \frac{(2^{\frac{4}{3}}\cdot 2^{-\frac{3}{4}}\cdot 2^{-\frac{1}{3}}\cdot 2^{-\frac{3}{5}})\cdot (3^{\frac{4}{3}}\cdot 3^{\frac{1}{4}}\cdot 3^{\frac{3}{5}})}{2^{\frac{3}{20}}\cdot 3^{\frac{11}{60}}}=\frac{2^{(\frac{4}{3}-\frac{3}{4}-\frac{1}{3}-\frac{3}{5})}\cdot 3^{(\frac{4}{3}+\frac{1}{4}+\frac{3}{5})}}{2^{\frac{3}{20}}\cdot 3^{\frac{11}{60}}}=\)
\(\Large \frac{2^{(1-\frac{15}{20}-\frac{12}{20})}\cdot 3^{(\frac{80}{60}+\frac{15}{60}+\frac{36}{60})}}{2^{\frac{3}{20}}\cdot 3^{\frac{11}{60}}}=\frac{2^{-\frac{7}{20}}\cdot 3^{\frac{131}{60}}}{2^{\frac{3}{20}}\cdot 3^{\frac{11}{60}}}=\frac{2^{-\frac{7}{20}}}{2^{\frac{3}{20}}} \cdot \frac{3^{\frac{131}{60}}}{3^{\frac{11}{60}}}\)
Teraz stosujemy wzór:
Korzystamy ze wzoru:
\(a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}\)Pozbawiamy się niewymierności z mianownika:
\(\Large \frac{9}{2^{\frac{1}{2}}}=\frac{9}{\sqrt{2}}=\frac{9\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{9\sqrt{2}}{2}\)Odpowiedź
\(\Large \frac{6^{\frac{4}{3}}\cdot (\frac{3}{8})^{0,25}\cdot 2^{-0,(3)}\cdot (\frac{3}{2})^{\frac{3}{5}}}{2^{\frac{3}{20}}\cdot 3^{\frac{11}{60}}}=\frac{9\sqrt{2}}{2}\)© medianauka.pl, 2009-11-08, ZAD-377
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Uprościć wyrażenie:
\(\Large \frac{(x^{\frac{1}{4}}+1)(x^{-\frac{1}{4}}-1)}{3x^{\frac{1}{4}}}-\frac{3}{2x^{\frac{3}{4}}}\)
Zadanie nr 2.
Uprościć wyrażenie:
\(W=[(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}-1][(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}+1]-a^3+\\+x^2+(a^3-x^2)^{-\frac{1}{2}}+a^{\frac{1}{2}}(a^2-\frac{x^2}{a})^{-\frac{1}{2}}+1\)
Zadanie nr 3.
Oblicz:
\(3^2\cdot 9^8\cdot (\frac{1}{3})^{-3}\cdot 27^{-5}\cdot 3^{\frac{1}{3}}\cdot 9^{\frac{1}{3}}\)
Zadanie nr 4.
Oblicz wartość wyrażenia:
\([(\frac{1}{5})^{-\frac{1}{2}}]^4+5\cdot 5^{-2}-(\frac{1}{5^3})^{-1}\)
Zadanie nr 5.
Oblicz wartość wyrażenia, korzystając z własności potęg:
\((5^{-\frac{1}{2}})^{5^{\frac{1}{3}}\cdot 25^{-\frac{2}{3}}}\)
Zadanie nr 6 — maturalne.
Dla każdej dodatniej liczby a iloraz \(\frac{a^{-2,6}}{a^{1,3}}\) jest równy:
A. \(a^{-3,9}\)
B. \(a^{-2}\)
C. \(a^{-1,3}\)
D. \(a^{1,3}\)
Zadanie nr 7 — maturalne.
Funkcja f określona jest wzorem \(f(x)=\frac{2x^3}{x^6+1}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Wtedy \(f(-\sqrt[3]{3})\) jest równa:
A. \(-\frac{\sqrt[3]{9}}{2}\)
B. \(-\frac{3}{5}\)
C. \(\frac{3}{5}\)
D. \(\frac{3}{5}\)
Zadanie nr 8 — maturalne.
Liczba \(5^8*16^{(-2)}\) jest równa
A. \((\frac{5}{2})^8\)
B. \((\frac{5}{8})^8\)
C. \(10^8\)
D. \(10\)
Zadanie nr 9 — maturalne.
Dane są liczby \(a=3,6⋅10^{-12}\) oraz \(b=2,4⋅10^{-20}\). Wtedy iloraz \(\frac{a}{b}\) jest równy:
- \(8,64⋅10^{−32}\)
- \(1,5⋅10^{−8}\)
- \(1,5⋅10^{8}\)
- \(8,64⋅10^{32}\)
Zadanie nr 10 — maturalne.
Liczba naturalna \(n=2^{14}\cdot 5^{15}\) w zapisie dziesiętnym ma
A. 14 cyfr
B. 15 cyfr
C. 16 cyfr
D. 30 cyfr
Zadanie nr 11 — maturalne.
Liczba \(\frac{2^{50}\cdot 3^{40}}{36^{10}}\) jest równa:
A. \(6^{70}\)
B. \(6^{45}\)
C. \(2^{30}\cdot 3^{20}\)
D. \(2^{10}\cdot 3^{20}\)
Zadanie nr 12 — maturalne.
Liczba \(100^5\cdot (0,1)^{-6}\) jest równa
A. \(10^{13}\)
B. \(10^{16}\)
C. \(10^{-1}\)
D. \(10^{-30}\)
Zadanie nr 13 — maturalne.
Liczba \(3^{2+\frac{1}{4}}\) jest równa
A. \(3^2\cdot \sqrt[4]{3}\)
B. \(\sqrt[4]{3^2}\)
C. \(3^2 +\sqrt[4]{3}\)
D. \(3^2\cdot \sqrt{3^4}\)