Zadanie - Działania na potęgach - Uprość wyrażenie
Treść zadania:
Uprościć wyrażenie:
\(\Large \frac{(x^{\frac{1}{4}}+1)(x^{-\frac{1}{4}}-1)}{3x^{\frac{1}{4}}}-\frac{3}{2x^{\frac{3}{4}}}\)
Rozwiązanie zadania
Kiedy obliczamy wartość skomplikowanego wyrażenia warto robić to etapami, trudniej wówczas o pomyłkę.
Mamy następujące wyrażenie:
Etap I
Pozbywamy się nawiasów, mnożąc przez siebie wszystkie elementy.
\((x^{\frac{1}{4}}+1)(x^{-\frac{1}{4}}-1)=x^{\frac{1}{4}-\frac{1}{4}}-x^{\frac{1}{4}}+x^{-\frac{1}{4}}-1=\)
\(=1-x^{\frac{1}{4}}+x^{-\frac{1}{4}}-1=-x^{\frac{1}{4}}+x^{-\frac{1}{4}}\)
Wstawiamy uzyskany wynik do naszego wyrażenia i otrzymujemy:
Etap II
Mamy do czynienia z różnicą ułamków o różnych mianownikach. Zgodnie z zasadami działań na ułamkach musimy je sprowadzić do wspólnego mianownika. Wystarczy licznik i mianownik jednego ułamka pomnożyć przez mianownik drugiego.
W mianowniku mamy działanie na potęgach. Zgodnie ze wzorem
Mamy:
\(2x^{\frac{3}{4}}\cdot 3x^{\frac{1}{4}}=6x^{(\frac{3}{4}+\frac{1}{4})}=6x^1=6x\)
Upraszczając jednocześnie wyrażenie w liczniku drugiego ułamka otrzymujemy:
Etap III
Teraz wykonujemy działania w liczniku pierwszego z ułamków, korzystając ze wzoru na iloczyn potęg o tych samych podstawach (przytoczono wyżej).
\((-x^{\frac{1}{4}}+x^{-\frac{1}{4}})\cdot 2x^{\frac{3}{4}}=-2x^{(\frac{1}{4}+\frac{3}{4})}+2x^{(-\frac{1}{4}+\frac{3}{4})}=-2x+2x^{\frac{1}{2}}\)
Podstawiając powyższy wynik do naszego wyrażenia i zapisując wszystko na wspólnej kresce ułamkowej otrzymujemy:
Jest to rozwiązanie naszego zadania.
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2009-11-11, ZAD-378
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Uprościć wyrażenie:
\(\Large \frac{6^{\frac{4}{3}}\cdot (\frac{3}{8})^{0,25}\cdot 2^{-0,(3)}\cdot (\frac{3}{2})^{\frac{3}{5}}}{2^{\frac{3}{20}}\cdot 3^{\frac{11}{60}}}\)
Zadanie nr 2.
Uprościć wyrażenie:
\(W=[(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}-1][(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}+1]-a^3+\\+x^2+(a^3-x^2)^{-\frac{1}{2}}+a^{\frac{1}{2}}(a^2-\frac{x^2}{a})^{-\frac{1}{2}}+1\)
Zadanie nr 3.
Oblicz:
\(3^2\cdot 9^8\cdot (\frac{1}{3})^{-3}\cdot 27^{-5}\cdot 3^{\frac{1}{3}}\cdot 9^{\frac{1}{3}}\)
Zadanie nr 4.
Oblicz wartość wyrażenia:
\([(\frac{1}{5})^{-\frac{1}{2}}]^4+5\cdot 5^{-2}-(\frac{1}{5^3})^{-1}\)
Zadanie nr 5.
Oblicz wartość wyrażenia, korzystając z własności potęg:
\((5^{-\frac{1}{2}})^{5^{\frac{1}{3}}\cdot 25^{-\frac{2}{3}}}\)
Zadanie nr 6.
Korzystając z własności działań na pierwiastkach lub potęgach, oblicz:
\(\sqrt{2}\cdot \sqrt[3]{2}\)
Zadanie nr 7.
Korzystając z własności działań na pierwiastkach lub potęgach oblicz: \(\sqrt{2}\cdot \sqrt[4]{4}:\sqrt[5]{16}\).
Zadanie nr 8.
Oblicz wartość wyrażenia: \(\sqrt{\sqrt[5]{\sqrt[4]{2^{48}}}}\)
Zadanie nr 9.
Sprawdzić, czy liczby \(1, \sqrt{2}\) są pierwiastkami wielomianu
\(W(x)=\sqrt{2}x^5-2x^4-\sqrt{2}x^3+3x^2-2\sqrt{2}x+2\).
Zadanie nr 10 — maturalne.
Funkcja f określona jest wzorem \(f(x)=\frac{2x^3}{x^6+1}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Wtedy \(f(-\sqrt[3]{3})\) jest równa:
A. \(-\frac{\sqrt[3]{9}}{2}\)
B. \(-\frac{3}{5}\)
C. \(\frac{3}{5}\)
D. \(\frac{3}{5}\)
Zadanie nr 11 — maturalne.
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=4^{-x}+1\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Liczba \(f(\frac{1}{2})\) jest równa.
A. \(\frac{1}{2}\)
B. \(\frac{3}{2}\)
C. \(3\)
D. \(17\)