Nauka » Matematyka » Potęga o wykładniku wymiernym Działania na pierwiastkach Trójkąt

Zadanie - działania na pierwiastkach i potęgach

Treść zadania:

Korzystając z własności działań na pierwiastkach lub potęgach oblicz: \(\sqrt{2}\cdot \sqrt[4]{4}:\sqrt[5]{16}\).

Rozwiązanie zadania

I sposób

W pierwszej kolejności należy skorzystać z własności działań na pierwiastkach. Mamy do czynienia z iloczynem trzech pierwiastków w różnych stopniach. Aby wykonać mnożenie, sprowadzamy oba pierwiastki do tego samego stopnia. Tutaj będzie to stopień dwudziesty. Skorzystamy z dwóch wzorów:

\(\sqrt[n]{a^n}=a,\ a\geq 0\)
\(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} =\sqrt[m\cdot n]{a},\ a\geq 0\)

Zgodnie z pierwszym wzorem (odpowiednie rachunki zaznaczono żółtym kolorem), a potem drugim wzorem mamy

\(\sqrt{2}=\sqrt{\sqrt[10]{2^{10}}}=\sqrt[2\cdot 10]{2^{10}}=\sqrt[20]{2^{10}}\)
\(\sqrt[4]{4}=\sqrt[4]{\sqrt[5]{4^5}}=\sqrt[4\cdot 5]{4^5}=\sqrt[20]{(2^2)^5}=\sqrt[20]{2^{10}}\)
\(\sqrt[5]{16}=\sqrt[5]{\sqrt[4]{16^4}}=\sqrt[4\cdot 5]{16^4}=\sqrt[20]{(2^4)^4}=\sqrt[20]{2^{16}}\)

Możemy teraz przystąpić do obliczenia iloczynu:

\(\sqrt{2}\cdot \sqrt[4]{4}:\sqrt[5]{16}=\sqrt[20]{2^{10}}\cdot \sqrt[20]{2^{10}}:\sqrt[20]{2^{16}}=\sqrt[20]{2^{10}\cdot 2^{10}:2^{16}}\)

W powyższych obliczeniach wykorzystano inne własności działań na pierwiastkach. Oto one:

\(\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a\cdot b}\)<br>\(\sqrt[n]{a}: \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a:b}\)

Skorzystamy teraz z podstawowych własności działań na potęgach:

\(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\)
\(a^m:a^n=a^{m-n}\)

\(\sqrt[20]{2^{10}\cdot 2^{10}:2^{16}}=\sqrt[20]{2^{10+10-16}}=\sqrt[20]{2^4}\)

Wynik można jeszcze uprościć, korzystając ponownie ze wzorów:

\(\sqrt[n]{a^n}=a,\ a\geq 0\)
\(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m\cdot n]{a},\ a\geq 0\)

\(\sqrt[20]{2^4}=\sqrt[4\cdot 5]{2^4}=\sqrt[5]{\sqrt[4]{2^4}}=\sqrt[5]{2}\)

Odpowiedź

\(\sqrt{2}\cdot \sqrt[4]{4}:\sqrt[5]{16}=\sqrt[5]{2}\)

II sposób

W drugim rozwiązaniu skorzystamy z własności działań na potęgach. Zaczniemy od zamiany pierwiastków na potęgi zgodnie z poniższym wzorem:

\(\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}},\ a\geq 0\)

\(\sqrt{2}\cdot \sqrt[4]{4}:\sqrt[5]{16}=2^{\frac{1}{2}}\cdot 4^{\frac{1}{4}}:16^{\frac{1}{5}}=2^{\frac{1}{2}}\cdot (2^2)^{\frac{1}{4}}:(2^4)^{\frac{1}{5}}=2^{\frac{1}{2}}\cdot 2^{\frac{1}{2}}:2^{\frac{4}{5}}\)

Skorzystaliśmy tutaj ze wzoru:

\((a^n)^m=a^{m\cdot n}\)

Teraz skorzystamy z następujących wzorów:

\(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\)
\(a^m:a^n=a^{m-n}\)

Otrzymujemy wynik:

\(2^{\frac{1}{2}}\cdot 2^{\frac{1}{2}}:2^{\frac{4}{5}}=2^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{4}{5}}=2^{\frac{5}{10}+\frac{5}{10}-\frac{8}{10}}=2^{\frac{2}{10}}=2^{\frac{1}{5}}=\sqrt[5]{2}\)

Odpowiedź

\(\sqrt{2}\cdot \sqrt[4]{4}:\sqrt[5]{16}=\sqrt[5]{2}\)

Matura z matematyki

Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.

Zbiór zadań z matematyki

Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.

WYKRESY ONLINE

Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne

Zadanie nr 1.

Dany jest trójkąt o wierzchołkach \(A=(-1,0), B=(1,-1)\) i \(C=(1,2)\). Oblicz długość wysokości tego trójkąta opuszczonej z wierzchołka C.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Znaleźć środek ciężkości w trójkącie o wierzchołkach \(A=(-1,0), B=(1,-1)\) i \(C=(1,2)\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Oblicz wysokość w trójkącie równoramiennym o ramionach długości 10 i o podstawie długości 12.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

W trójkącie równoramiennym o ramionach długości 5 wysokość ma długość 4. Oblicz długość podstawy.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

W trójkącie prostokątnym jeden z kątów wewnętrznych ma miarę 30°. Oblicz miarę pozostałych kątów w tym trójkącie.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

W trójkącie \(ABC\) dwa kąty wewnętrzne mają miarę 30°. Długość podstawy jest równa 12. Oblicz długości pozostałych boków trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

W trójkącie \(ABC\) jeden z kątów wewnętrznych ma miarę 30^o. Wysokość i bok tego trójkąta, leżące naprzeciwko tego kąta mają długość odpowiednio 3 i 4. Znaleźć długości pozostałych boków tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8.

Czy długość podstawy trójkąta równoramiennego może być dwa razy większa od długości ramienia tego trójkąta?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 9 — maturalne.

Z odcinków o długościach: \(5, 2a+1, a-1\) można zbudować trójkąt równoramienny. Wynika stąd, że

A. \(a=6\)

B. \(a=4\)

C. \(a=3\)

D. \(a=2\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 10 — maturalne.

Jeden z kątów trójkąta jest trzy razy większy od mniejszego z dwóch pozostałych kątów, które różnią się o \(50°\). Oblicz kąty tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 11 — maturalne.

W trójkącie ostrokątnym \(ABC\) bok \(AB\) ma długość \(c\), długość boku \(BC\) jest równa a oraz \(\angle ABC=\beta\). Dwusieczna kąta \(ABC\) przecina bok \(AC\) trójkąta w punkcie \(E\). Wykaż, że długość odcinka \(BE\) jest równa \(\frac{2ac\cdot \cos{\frac{\beta}{2}}}{a+c}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 12 — maturalne.

Dany jest czworokąt wypukły \(ABCD\), w którym \(|AD|=|AB|=|BC|=a\), \(|\angle BAD|=60°\) i \(|\angle ADC|=135°\). Oblicz pole czworokąta \(ABCD\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 13 — maturalne.

Dany jest trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Na ramieniu AC tego trójkąta wybrano punkt \(M (M\neq A, M\neq C)\), a na ramieniu \(BC\) wybrano punkt \(N\), w taki sposób, że \(|AM| = |CN|\). Przez punkty \(M\) i \(N\) poprowadzono proste prostopadłe do podstawy \(AB\) tego trójkąta, które wyznaczają na niej punkty \(S\) i \(T\). Udowodnij, że \(|ST| = 1/2|AB|\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 14 — maturalne.

Prosta \(k\) jest styczna w punkcie \(A\) do okręgu o środku \(O\). Punkt \(B\) leży na tym okręgu i miara kąta \(AOB\) jest równa 80°. Przez punkty \(O\) i \(B\) poprowadzono prostą, która przecina prostą \(k\) w punkcie \(C\) (zobacz rysunek).

Zadanie 17, matura 2021

A. 10°

B. 30°

C. 40°

D. 50°

Pokaż rozwiązanie zadania.