Zadanie - działania na pierwiastkach i potęgach

Treść zadania:

Oblicz wartość wyrażenia: \(\sqrt{\sqrt[5]{\sqrt[4]{2^{48}}}}\)


książki Rozwiązanie zadania

I sposób

Skorzystamy z własności działań na pierwiastkach:

\(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m\cdot n]{a},\ a\geq 0\)

Zgodnie z nim możemy zapisać nasze wyrażenie w innej postaci:

\(\sqrt{\sqrt[5]{\sqrt[4]{2^{48}}}}=\sqrt[2\cdot 5\cdot 4]{2^{48}}=\sqrt[40]{2^{48}}\)

Skorzystamy teraz z własności działań na potęgach oraz działań na pierwiastkach:

\(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\)
\(\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}\)

\(\sqrt[40]{2^{48}}=\sqrt[40]{2^{40+8}}=\sqrt[40]{2^{40}\cdot 2^8}=\sqrt[40]{2^{40}}\cdot \sqrt[40]{2^8}\)

Wynik można jeszcze bardziej uprościć, korzystając ze wzorów:

\(\sqrt[n]{a^n}=a,\ a\geq 0\)
\(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m\cdot n]{a},\ a\geq 0\)

\(\sqrt[40]{2^{40}}\cdot \sqrt[40]{2^8}=2\cdot \sqrt[5\cdot 8]{2^8}=2\sqrt[5]{\sqrt[8]{2^8}}=2\sqrt[5]{2}\)

II sposób

To samo zadanie można rozwiązać inaczej, gdy skorzystamy z własności działań na potęgach. Zaczniemy od zamiany pierwiastków na potęgi zgodnie ze wzorem:

\(\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}},\ a\geq 0\)

\(\sqrt{\sqrt[5]{\sqrt[4]{2^{48}}}}=\lbrace[(2^{48})^{\frac{1}{4}}]^{\frac{1}{5}}\rbrace^{\frac{1}{2}}=2^{48\cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{5}\cdot \frac{1}{2}}=2^{\frac{48}{40}}=2^{1\frac{1}{5}}\)

W kolejnym kroku skorzystaliśmy tutaj ze wzoru:

\((a^n)^m=a^{m\cdot n}\)

Teraz zastosujemy wzór:

\(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\)

\(2^{1\frac{1}{5}}=2^{1+\frac{1}{5}}=2^{1}\cdot 2^{\frac{1}{5}}=2\sqrt[5]{2}\)

książki Odpowiedź

\(\sqrt{\sqrt[5]{\sqrt[4]{2^{48}}}}=2\sqrt[5]{2}\)

© medianauka.pl, 2009-11-23, ZAD-393

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Uprościć wyrażenie:

\(\Large \frac{6^{\frac{4}{3}}\cdot (\frac{3}{8})^{0,25}\cdot 2^{-0,(3)}\cdot (\frac{3}{2})^{\frac{3}{5}}}{2^{\frac{3}{20}}\cdot 3^{\frac{11}{60}}}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Uprościć wyrażenie:

\(\Large \frac{(x^{\frac{1}{4}}+1)(x^{-\frac{1}{4}}-1)}{3x^{\frac{1}{4}}}-\frac{3}{2x^{\frac{3}{4}}}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Uprościć wyrażenie:

\(W=[(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}-1][(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}+1]-a^3+\\+x^2+(a^3-x^2)^{-\frac{1}{2}}+a^{\frac{1}{2}}(a^2-\frac{x^2}{a})^{-\frac{1}{2}}+1\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Oblicz:

\(3^2\cdot 9^8\cdot (\frac{1}{3})^{-3}\cdot 27^{-5}\cdot 3^{\frac{1}{3}}\cdot 9^{\frac{1}{3}}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Oblicz wartość wyrażenia:

\([(\frac{1}{5})^{-\frac{1}{2}}]^4+5\cdot 5^{-2}-(\frac{1}{5^3})^{-1}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Oblicz wartość wyrażenia, korzystając z własności potęg:

\((5^{-\frac{1}{2}})^{5^{\frac{1}{3}}\cdot 25^{-\frac{2}{3}}}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Korzystając z własności działań na pierwiastkach lub potęgach, oblicz:

\(\sqrt{2}\cdot \sqrt[3]{2}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8.

Korzystając z własności działań na pierwiastkach lub potęgach oblicz: \(\sqrt{2}\cdot \sqrt[4]{4}:\sqrt[5]{16}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 9.

Sprawdzić, czy liczby \(1, \sqrt{2}\) są pierwiastkami wielomianu

\(W(x)=\sqrt{2}x^5-2x^4-\sqrt{2}x^3+3x^2-2\sqrt{2}x+2\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 10 — maturalne.

Funkcja f określona jest wzorem \(f(x)=\frac{2x^3}{x^6+1}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Wtedy \(f(-\sqrt[3]{3})\) jest równa:

A. \(-\frac{\sqrt[3]{9}}{2}\)

B. \(-\frac{3}{5}\)

C. \(\frac{3}{5}\)

D. \(\frac{3}{5}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 11 — maturalne.

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=4^{-x}+1\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Liczba \(f(\frac{1}{2})\) jest równa.

A. \(\frac{1}{2}\)

B. \(\frac{3}{2}\)

C. \(3\)

D. \(17\)

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.