Nauka » Matematyka » Działania na pierwiastkach • Potęga o wykładniku wymiernym

Zadanie - działania na pierwiastkach i potęgach

Treść zadania:

Oblicz wartość wyrażenia: \(\sqrt{\sqrt[5]{\sqrt[4]{2^{48}}}}\)

Rozwiązanie zadania

I sposób

Skorzystamy z własności działań na pierwiastkach:

\(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m\cdot n]{a},\ a\geq 0\)

Zgodnie z nim możemy zapisać nasze wyrażenie w innej postaci:

\(\sqrt{\sqrt[5]{\sqrt[4]{2^{48}}}}=\sqrt[2\cdot 5\cdot 4]{2^{48}}=\sqrt[40]{2^{48}}\)

Skorzystamy teraz z własności działań na potęgach oraz działań na pierwiastkach:

\(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\)
\(\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}\)

\(\sqrt[40]{2^{48}}=\sqrt[40]{2^{40+8}}=\sqrt[40]{2^{40}\cdot 2^8}=\sqrt[40]{2^{40}}\cdot \sqrt[40]{2^8}\)

Wynik można jeszcze bardziej uprościć, korzystając ze wzorów:

\(\sqrt[n]{a^n}=a,\ a\geq 0\)
\(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m\cdot n]{a},\ a\geq 0\)

\(\sqrt[40]{2^{40}}\cdot \sqrt[40]{2^8}=2\cdot \sqrt[5\cdot 8]{2^8}=2\sqrt[5]{\sqrt[8]{2^8}}=2\sqrt[5]{2}\)

II sposób

To samo zadanie można rozwiązać inaczej, gdy skorzystamy z własności działań na potęgach. Zaczniemy od zamiany pierwiastków na potęgi zgodnie ze wzorem:

\(\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}},\ a\geq 0\)

\(\sqrt{\sqrt[5]{\sqrt[4]{2^{48}}}}=\lbrace[(2^{48})^{\frac{1}{4}}]^{\frac{1}{5}}\rbrace^{\frac{1}{2}}=2^{48\cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{5}\cdot \frac{1}{2}}=2^{\frac{48}{40}}=2^{1\frac{1}{5}}\)

W kolejnym kroku skorzystaliśmy tutaj ze wzoru:

\((a^n)^m=a^{m\cdot n}\)

Teraz zastosujemy wzór:

\(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\)

\(2^{1\frac{1}{5}}=2^{1+\frac{1}{5}}=2^{1}\cdot 2^{\frac{1}{5}}=2\sqrt[5]{2}\)