Zadanie - działania na pierwiastkach i potęgach
Treść zadania:
Oblicz wartość wyrażenia: \(\sqrt{\sqrt[5]{\sqrt[4]{2^{48}}}}\)
Rozwiązanie zadania
I sposób
Skorzystamy z własności działań na pierwiastkach:
Zgodnie z nim możemy zapisać nasze wyrażenie w innej postaci:
\(\sqrt{\sqrt[5]{\sqrt[4]{2^{48}}}}=\sqrt[2\cdot 5\cdot 4]{2^{48}}=\sqrt[40]{2^{48}}\)
Skorzystamy teraz z własności działań na potęgach oraz działań na pierwiastkach:
\(\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}\)
\(\sqrt[40]{2^{48}}=\sqrt[40]{2^{40+8}}=\sqrt[40]{2^{40}\cdot 2^8}=\sqrt[40]{2^{40}}\cdot \sqrt[40]{2^8}\)
Wynik można jeszcze bardziej uprościć, korzystając ze wzorów:
\(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m\cdot n]{a},\ a\geq 0\)
\(\sqrt[40]{2^{40}}\cdot \sqrt[40]{2^8}=2\cdot \sqrt[5\cdot 8]{2^8}=2\sqrt[5]{\sqrt[8]{2^8}}=2\sqrt[5]{2}\)
II sposób
To samo zadanie można rozwiązać inaczej, gdy skorzystamy z własności działań na potęgach. Zaczniemy od zamiany pierwiastków na potęgi zgodnie ze wzorem:
\(\sqrt{\sqrt[5]{\sqrt[4]{2^{48}}}}=\lbrace[(2^{48})^{\frac{1}{4}}]^{\frac{1}{5}}\rbrace^{\frac{1}{2}}=2^{48\cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{5}\cdot \frac{1}{2}}=2^{\frac{48}{40}}=2^{1\frac{1}{5}}\)
W kolejnym kroku skorzystaliśmy tutaj ze wzoru:
Teraz zastosujemy wzór:
\(2^{1\frac{1}{5}}=2^{1+\frac{1}{5}}=2^{1}\cdot 2^{\frac{1}{5}}=2\sqrt[5]{2}\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2009-11-23, ZAD-393
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Uprościć wyrażenie:
\(\Large \frac{6^{\frac{4}{3}}\cdot (\frac{3}{8})^{0,25}\cdot 2^{-0,(3)}\cdot (\frac{3}{2})^{\frac{3}{5}}}{2^{\frac{3}{20}}\cdot 3^{\frac{11}{60}}}\)
Zadanie nr 2.
Uprościć wyrażenie:
\(\Large \frac{(x^{\frac{1}{4}}+1)(x^{-\frac{1}{4}}-1)}{3x^{\frac{1}{4}}}-\frac{3}{2x^{\frac{3}{4}}}\)
Zadanie nr 3.
Uprościć wyrażenie:
\(W=[(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}-1][(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}+1]-a^3+\\+x^2+(a^3-x^2)^{-\frac{1}{2}}+a^{\frac{1}{2}}(a^2-\frac{x^2}{a})^{-\frac{1}{2}}+1\)
Zadanie nr 4.
Oblicz:
\(3^2\cdot 9^8\cdot (\frac{1}{3})^{-3}\cdot 27^{-5}\cdot 3^{\frac{1}{3}}\cdot 9^{\frac{1}{3}}\)
Zadanie nr 5.
Oblicz wartość wyrażenia:
\([(\frac{1}{5})^{-\frac{1}{2}}]^4+5\cdot 5^{-2}-(\frac{1}{5^3})^{-1}\)
Zadanie nr 6.
Oblicz wartość wyrażenia, korzystając z własności potęg:
\((5^{-\frac{1}{2}})^{5^{\frac{1}{3}}\cdot 25^{-\frac{2}{3}}}\)
Zadanie nr 7.
Korzystając z własności działań na pierwiastkach lub potęgach, oblicz:
\(\sqrt{2}\cdot \sqrt[3]{2}\)
Zadanie nr 8.
Korzystając z własności działań na pierwiastkach lub potęgach oblicz: \(\sqrt{2}\cdot \sqrt[4]{4}:\sqrt[5]{16}\).
Zadanie nr 9.
Sprawdzić, czy liczby \(1, \sqrt{2}\) są pierwiastkami wielomianu
\(W(x)=\sqrt{2}x^5-2x^4-\sqrt{2}x^3+3x^2-2\sqrt{2}x+2\).
Zadanie nr 10 — maturalne.
Funkcja f określona jest wzorem \(f(x)=\frac{2x^3}{x^6+1}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Wtedy \(f(-\sqrt[3]{3})\) jest równa:
A. \(-\frac{\sqrt[3]{9}}{2}\)
B. \(-\frac{3}{5}\)
C. \(\frac{3}{5}\)
D. \(\frac{3}{5}\)
Zadanie nr 11 — maturalne.
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=4^{-x}+1\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Liczba \(f(\frac{1}{2})\) jest równa.
A. \(\frac{1}{2}\)
B. \(\frac{3}{2}\)
C. \(3\)
D. \(17\)