Zadanie - nierówność kwadratowa, właściwości pierwiastka, nierówność z parametrem
Treść zadania:
Dla jakiej wartości parametru \(x\) prawdziwa jest równość \(\sqrt{(x^2-2x+1)^2}=x^2-2x+1\)?
Rozwiązanie zadania
Skorzystamy ze wzoru:
\(\sqrt[n]{a^n}=a,\ a\geq 0\)Zgodnie z nim równość \(\sqrt{(x^2-2x+1)^2}=x^2-2x+1\) zachodzi wówczas, gdy \(x^2-2x+1\geq 0\). Skorzystajmy ze wzoru skróconego mnożenia, aby przekształcić lewą stronę nierówności.
\(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\)\(x^2-2x+1\geq 0 \Leftrightarrow (x-1)^2\geq 0\)
Rozwiązanie nierówności kwadratowej oprzemy o wykres zmienności trójmianu kwadratowego. Nasz trójmian ma jedno miejsce zerowe \(x_0=1\) (punkt przecięcia paraboli z osią \(Ox\)), współczynnik \(a=1\), więc ramiona paraboli skierowane są do góry. Na wykresie zaznaczamy więc wszystkie wartości większe lub równe zeru.
Z wykresu widać, że dla każdej liczby rzeczywistej x punkty paraboli leżą nad osią \(Ox\) lub leżą na niej, tzn. wartości tej funkcji są większe lub równe zero.
Odpowiedź
Równość jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej \(x\in \mathbb{R}\).© medianauka.pl, 2009-11-23, ZAD-394
Zadania podobne
Zadanie nr 4.
Oblicz wartość pierwiastka dla \(b>0\): \(\sqrt{\frac{a^6}{b^2}}\).
Zadanie nr 5.
Korzystając z własności działań na pierwiastkach lub potęgach, oblicz:
\(\sqrt{2}\cdot \sqrt[3]{2}\)
Zadanie nr 6.
Korzystając z własności działań na pierwiastkach lub potęgach oblicz: \(\sqrt{2}\cdot \sqrt[4]{4}:\sqrt[5]{16}\).
Zadanie nr 7.
Oblicz wartość wyrażenia: \(\sqrt{\sqrt[5]{\sqrt[4]{2^{48}}}}\)
Zadanie nr 9 — maturalne.
Liczba \(\sqrt[3]{\frac{7}{3}}\cdot \sqrt[3]{\frac{81}{56}}\) jest równa:
- \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
- \(\frac{3}{2\sqrt[3]{21}}\)
- \(\frac{3}{2}\)
- \(\frac{9}{4}\)
Zadanie nr 10 — maturalne.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba \(\sqrt[3]{-\frac{27}{16}}\cdot\sqrt[3]{2}\) jest równa
A. \((-\frac{3}{2})\)
B. \(\frac{3}{2}\)
C. \(\frac{2}{3}\)
D. \((-\frac{2}{3})\)