Zadanie - wartość bezwzględna, własności pierwiastków - Zadanie: Uprościć wyrażenia

Treść zadania:

Uprościć wyrażenie \(W=\sqrt{(a-1)^2}+\sqrt{(a+1)^2}\).


książkiRozwiązanie zadania

Skorzystamy ze wzoru:

\(\sqrt{x^2}=|x|\)

Zgodnie z nim otrzymujemy:

\(\sqrt{(a-1)^2}+\sqrt{(a+1)^2}=|a-1|+|a+1|\)

Korzystamy z definicji wartości bezwzględnej:

\(|x|=\begin{cases} x,\ dla\ x\geq 0\\-x,\ dla\ x <0 \end{cases}\)

Mamy tutaj do czynienia z dwoma wartościami bezwzględnymi, więc możliwe są cztery przypadki (gdy oba wyrażenia pod wartością bezwzględną są dodatnie, ujemne, jeden dodatni, drugi ujemny i odwrotnie).

Przypadek 1

Zakładamy, że oba wyrażenia pod wartością bezwzględną są większe lub równe zero.

\(\begin{cases} a-1 \geq 0\\ a+1\geq 0\end{cases}\)

\(\begin{cases} a\geq 1\\ a\geq -1\end{cases}\)

Przedstawiamy zbiory rozwiązań nierówności na osi liczbowej i rozwiązanie układu wyrażamy w postaci przedziału liczbowego.

rysunek 1

\(a\in \langle 1;+\infty)\)

Jeżeli oba wyrażenia są nieujemne, co zachodzi dla \(a\in \langle 1;+\infty )\), możemy wówczas opuścić wartość bezwzględną i nasze wyrażenie \(W\) przyjmuje postać:

\(W=|a-1|+|a+1|=a-1+a+1=2a\)

Przypadek 2

Zakładamy, że oba wyrażenia pod wartością bezwzględną są ujemne.

\(\begin{cases} a-1<0\\ a+1< 0\end{cases}\)

\(\begin{cases} a<1\\ a<-1\end{cases}\)

Przedstawiamy zbiory rozwiązań nierówności na osi liczbowej i rozwiązanie układu wyrażamy w postaci przedziału liczbowego.

rysunek 2

\(a\in (-\infty;-1)\)

Jeżeli oba wyrażenia są ujemne, co zachodzi dla \(a\in (-\infty;-1)\), możemy wówczas opuścić wartość bezwzględną, zmieniając znak wyrażenia na przeciwny i nasze wyrażenie W przyjmuje postać:

\(W=|a-1|+|a+1|=-(a-1)-(a+1)=-a+1-a-1=-2a\)

Przypadek 3

Zakładamy, że jedno wyrażenie jest ujemne, a drugie nieujemne.

\(\begin{cases} a-1<0\\ a+1\geq 0\end{cases}\)

\(\begin{cases} a<1\\ a\geq -1\end{cases}\)

Przedstawiamy zbiory rozwiązań nierówności na osi liczbowej i rozwiązanie układu wyrażamy w postaci przedziału liczbowego.

rysunek 4

\(a\in \langle -1;1)\)

Mamy więc:

\(W=|a-1|+|a+1|=-(a-1)+a+1=-a+1+a+1=2\)

Przypadek 4

Zakładamy, że jedno wyrażenie jest nieujemne, a drugie ujemne.

\(\begin{cases} a-1\geq 0\\ a+1< 0\end{cases}\)

\(\begin{cases} a\geq 1\\ a< -1\end{cases}\)

Przedstawiamy zbiory rozwiązań nierówności na osi liczbowej i rozwiązanie układu wyrażamy w postaci przedziału liczbowego.

rysunek 5

\(a\in \emptyset\)

Nie ma takiego \(a\), dla którego pierwsze wyrażenie pod wartością bezwzględną jest nieujemne, a drugie ujemne, więc nie musimy w tym przypadku obliczać wartości wyrażenia \(W\).

Zatem w zależności od wartości a wyrażenie W przyjmuje różne wartości:

książki Odpowiedź

\(\sqrt{(a-1)^2}+\sqrt{(a+1)^2}=\begin{cases} 2a,\ dla\ a\in \langle1;+\infty)\\-2a,\ dla\ a\in (-\infty; -1)\\ 2,\ dla\ a\in \langle-1;1)\end{cases}\)

© medianauka.pl, 2009-11-25, ZAD-395

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Rozwiązać równanie \(|x+1|-|x-1|=5\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Sporządzić wykres funkcji \(f(x)=|x+1|\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Sporządzić wykres funkcji \(f(x)=|x^2-x-2|\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Sporządzić wykres funkcji \(f(x)=\frac{1}{|x|}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Sporządzić wykres funkcji \(f(x)=\frac{1}{|x+2|}-3\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Sporządzić wykres funkcji f(x)=|x^2-x|-2.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 7 — maturalne.

Na osi liczbowej zaznaczono sumę przedziałów.

Zadanie maturalne nr 1 z matematyki 2023

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Zbiór zaznaczony na osi jest zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

A. \(|x-3,5|\geq 1,5\)

B. \(|x-1,5|\geq 3,5\)

C. \(|x-3,5|\leq 1,5\)

D. \(|x-1,5|\leq 3,5\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 8 — maturalne.

Na rysunku przedstawiony jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność \(|2x-8|\leq 10\)

rysunek , zadanie maturalne 1/2015

Stąd wynika, że

A. \(k=2\)

B. \(k=4\)

C. \(k=5\)

D. \(k=9\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 9 — maturalne.

Dla każdej liczby \(x\), spełniającej warunek \(-3<x<0\), wyrażenie \(\frac{|x+3|-x+3}{x}\) jest równe:

A. \(2\)

B. \(3\)

C. \(-\frac{6}{x}\)

D. \(\frac{6}{x}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.