Zadanie - działania na pierwiastkach - Zadanie: Uprościć wyrażenie algebraiczne.

Treść zadania:

Uprościć wyrażenie \(W=\frac{1}{\sqrt{x+1}}-\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}}+\frac{\sqrt{x^2-1}}{x+1}\), wiedząc, że \(x>-1\).


książki Rozwiązanie zadania

Dodamy do siebie wszystkie składniki sumy. Wspólnym mianownikiem będzie wyrażenie \(x+1\). Aby tak było, musimy pomnożyć licznik i mianownik dwóch pierwszych ułamków przez \(\sqrt{x+1}\) (pozbędziemy się wówczas niewymierności z mianownika).

\(W=\frac{1}{\sqrt{x+1}}-\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}}+\frac{\sqrt{x^2-1}}{x+1}=\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}\cdot \sqrt{x+1}}- \frac{\sqrt{x-1}\cdot \sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}\cdot \sqrt{x+1}}+\frac{\sqrt{x^2-1}}{x+1}\)

Wykonujemy kolejno działania, korzystając ze wzoru:

\(\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a\cdot b}\)

\(W=\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}\cdot \sqrt{x+1}}- \frac{\sqrt{x-1}\cdot \sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}\cdot \sqrt{x+1}}+\frac{\sqrt{x^2-1}}{x+1}=\)

\(=\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{(x+1)^2}}- \frac{\sqrt{(x-1)(x+1)}}{\sqrt{(x+1)^2}}+\frac{\sqrt{x^2-1}}{x+1}\)

Dla fragmentu wyrażenia zaznaczonego na zielono zastosujemy wzór:

\(\sqrt{a^2}=|a|\)

Dla fragmentu zaznaczonego na żółto zastosujemy wzór skróconego mnożenia.

\((a-b)(a+b)=a^2-b^2\)

Otrzymamy wówczas:

\(W=\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{(x+1)^2}}- \frac{\sqrt{(x-1)(x+1)}}{\sqrt{(x+1)^2}}+\frac{\sqrt{x^2-1}}{x+1}=\frac{\sqrt{x+1}}{|x+1|}- \frac{\sqrt{x^2-1}}{|x+1|}+\frac{\sqrt{x^2-1}}{x+1}\)

Z warunków zadania wynika, że \(x>-1\), czyli \(x+1>0\) i oznacza to, że pod wartością bezwzględną mamy cały czas wyrażenie o dodatniej wartości - możemy opuścić symbol wartości bezwzględnej.

\(W=\frac{\sqrt{x+1}}{x+1}- \cancel{\frac{\sqrt{x^2-1}}{x+1}}+\cancel{\frac{\sqrt{x^2-1}}{x+1}}=\frac{\sqrt{x+1}}{x+1}\)

książki Odpowiedź

Dla \(x>-1\)
\(W=\frac{\sqrt{x+1}}{x+1}\)

© medianauka.pl, 2009-11-26, ZAD-396

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Pozbyć się niewymierności z mianownika

a) \(\frac{7}{1-\sqrt{7}}\)

b) \(\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.