Zadanie - działania na pierwiastkach - Zadanie: Uprościć wyrażenie algebraiczne.
Treść zadania:
Uprościć wyrażenie \(W=\frac{1}{\sqrt{x+1}}-\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}}+\frac{\sqrt{x^2-1}}{x+1}\), wiedząc, że \(x>-1\).
Rozwiązanie zadania
Dodamy do siebie wszystkie składniki sumy. Wspólnym mianownikiem będzie wyrażenie \(x+1\). Aby tak było, musimy pomnożyć licznik i mianownik dwóch pierwszych ułamków przez \(\sqrt{x+1}\) (pozbędziemy się wówczas niewymierności z mianownika).
\(W=\frac{1}{\sqrt{x+1}}-\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}}+\frac{\sqrt{x^2-1}}{x+1}=\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}\cdot \sqrt{x+1}}- \frac{\sqrt{x-1}\cdot \sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}\cdot \sqrt{x+1}}+\frac{\sqrt{x^2-1}}{x+1}\)
Wykonujemy kolejno działania, korzystając ze wzoru:
\(W=\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}\cdot \sqrt{x+1}}- \frac{\sqrt{x-1}\cdot \sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}\cdot \sqrt{x+1}}+\frac{\sqrt{x^2-1}}{x+1}=\)
\(=\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{(x+1)^2}}- \frac{\sqrt{(x-1)(x+1)}}{\sqrt{(x+1)^2}}+\frac{\sqrt{x^2-1}}{x+1}\)
Dla fragmentu wyrażenia zaznaczonego na zielono zastosujemy wzór:
Dla fragmentu zaznaczonego na żółto zastosujemy wzór skróconego mnożenia.
Otrzymamy wówczas:
\(W=\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{(x+1)^2}}- \frac{\sqrt{(x-1)(x+1)}}{\sqrt{(x+1)^2}}+\frac{\sqrt{x^2-1}}{x+1}=\frac{\sqrt{x+1}}{|x+1|}- \frac{\sqrt{x^2-1}}{|x+1|}+\frac{\sqrt{x^2-1}}{x+1}\)
Z warunków zadania wynika, że \(x>-1\), czyli \(x+1>0\) i oznacza to, że pod wartością bezwzględną mamy cały czas wyrażenie o dodatniej wartości - możemy opuścić symbol wartości bezwzględnej.
\(W=\frac{\sqrt{x+1}}{x+1}- \cancel{\frac{\sqrt{x^2-1}}{x+1}}+\cancel{\frac{\sqrt{x^2-1}}{x+1}}=\frac{\sqrt{x+1}}{x+1}\)
Odpowiedź
\(W=\frac{\sqrt{x+1}}{x+1}\)
© medianauka.pl, 2009-11-26, ZAD-396
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Pozbyć się niewymierności z mianownika
a) \(\frac{7}{1-\sqrt{7}}\)
b) \(\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}\)