Zadanie - działania na pierwiastkach - Zadanie: Uprościć wyrażenie algebraiczne.

Treść zadania:

Rozwiązanie zadania

Dodamy do siebie wszystkie składniki sumy. Wspólnym mianownikiem będzie wyrażenie $x+1$. Aby tak było, musimy pomnożyć licznik i mianownik dwóch pierwszych ułamków przez $\sqrt{x+1}$ (pozbędziemy się wówczas niewymierności z mianownika).

$W=\frac{1}{\sqrt{x+1}}-\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}}+\frac{\sqrt{x^2-1}}{x+1}=\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}\cdot \sqrt{x+1}}-\frac{\sqrt{x-1}\cdot \sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}\cdot \sqrt{x+1}}+\frac{\sqrt{x^2-1}}{x+1}$

Wykonujemy kolejno działania, korzystając ze wzoru:

$W=\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}\cdot \sqrt{x+1}}-\frac{\sqrt{x-1}\cdot \sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}\cdot \sqrt{x+1}}+\frac{\sqrt{x^2-1}}{x+1}=$

$=\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{(x+1{)}^2}}-\frac{\sqrt{(x-1)(x+1)}}{\sqrt{(x+1{)}^2}}+\frac{\sqrt{x^2-1}}{x+1}$

Dla fragmentu wyrażenia zaznaczonego na zielono zastosujemy wzór:

Dla fragmentu zaznaczonego na żółto zastosujemy wzór skróconego mnożenia.

Otrzymamy wówczas:

$W=\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{(x+1{)}^2}}-\frac{\sqrt{(x-1)(x+1)}}{\sqrt{(x+1{)}^2}}+\frac{\sqrt{x^2-1}}{x+1}=\frac{\sqrt{x+1}}{|x+1|}-\frac{\sqrt{x^2-1}}{|x+1|}+\frac{\sqrt{x^2-1}}{x+1}$

Z warunków zadania wynika, że $x>-1$, czyli $x+1>0$ i oznacza to, że pod wartością bezwzględną mamy cały czas wyrażenie o dodatniej wartości - możemy opuścić symbol wartości bezwzględnej.

$W=\frac{\sqrt{x+1}}{x+1}-\cancel{\frac{\sqrt{x^2-1}}{x+1}}+\cancel{\frac{\sqrt{x^2-1}}{x+1}}=\frac{\sqrt{x+1}}{x+1}$

Odpowiedź

© medianauka.pl, 2009-11-26, ZAD-396

Matura z matematyki

Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.

Zbiór zadań z matematyki

Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.

WYKRESY ONLINE

Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne