Zadanie - Równanie wykładnicze - Zadanie: Rozwiązać równanie wykładnicze.
Treść zadania:
Rozwiązać równanie wykładnicze \(3^{\frac{1}{x}}=27^x\).
Rozwiązanie zadania
Aby rozwiązać równanie wykładnicze należy doprowadzić liczby po obu stronach równania do potęg o jednakowych podstawach. Tak też czynimy:
\(3^{\frac{1}{x}}=27^x\)
\(3^{\frac{1}{x}}=(3^3)^x\)
\(3^{\frac{1}{x}}=3^{3x}\)
W ostatnim kroku zastosowaliśmy jedną z własności działań na potęgach:
Korzystamy teraz z twierdzenia o równości potęg i możemy przyrównać do siebie wykładniki potęg.
\(\frac{1}{x}=3x\)
\(\frac{1}{x}-3x=0\)
Sprowadzamy oba składniki różnicy do wspólnego mianownika.
\(\frac{1}{x}-3x=0\)
\(\frac{1}{x}-\frac{3x^2}{x}=0\)
\(\frac{1-3x^2}{x}=0\)
Ułamek jest równy zero, jeżeli jego licznik jest równy zero. Otrzymujemy w ten sposób równanie kwadratowe, które rozłożymy na czynniki zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia (fragment rachunków zaznaczony kolorem żółtym):
\(1-3x^2=0/:(-3)\)
\(x^2-\frac{1}{3}=0\)
\((x-\sqrt{\frac{1}{3}})(x+\sqrt{\frac{1}{3}})=0\)
Znaleźliśmy zatem dwa pierwiastki równania kwadratowego, które stanowią jednocześnie rozwiązanie naszego równania wykładniczego:
\(x_1=-\sqrt{\frac{1}{3}}\)
\(x_2=\sqrt{\frac{1}{3}}\)
Możemy jeszcze nieco przekształcić liczbę \(\sqrt{\frac{1}{3}}\):
\(\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
Odpowiedź
\(x_1=-\frac{\sqrt{3}}{3}, \ x_2=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
© medianauka.pl, 2009-11-28, ZAD-400
Zadania podobne
Zadanie nr 2.
Rozwiązać równanie wykładnicze \((\sqrt{2}+1)^{x+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1\).
Zadanie nr 3.
Rozwiązać równanie wykładnicze \((\frac{1}{2})^{x-1}-2^{2x}-1=0\).