Zadanie - Równanie wykładnicze - Zadanie: Rozwiązać równanie wykładnicze.

Treść zadania:

Rozwiązać równanie wykładnicze \(3^{\frac{1}{x}}=27^x\).


ksiązki Rozwiązanie zadania

Aby rozwiązać równanie wykładnicze należy doprowadzić liczby po obu stronach równania do potęg o jednakowych podstawach. Tak też czynimy:

\(3^{\frac{1}{x}}=27^x\)

\(3^{\frac{1}{x}}=(3^3)^x\)

\(3^{\frac{1}{x}}=3^{3x}\)

W ostatnim kroku zastosowaliśmy jedną z własności działań na potęgach:

\((a^m)^n=a^{m\cdot n}\)

Korzystamy teraz z twierdzenia o równości potęg i możemy przyrównać do siebie wykładniki potęg.

\(\frac{1}{x}=3x\)

\(\frac{1}{x}-3x=0\)

Sprowadzamy oba składniki różnicy do wspólnego mianownika.

\(\frac{1}{x}-3x=0\)

\(\frac{1}{x}-\frac{3x^2}{x}=0\)

\(\frac{1-3x^2}{x}=0\)

Ułamek jest równy zero, jeżeli jego licznik jest równy zero. Otrzymujemy w ten sposób równanie kwadratowe, które rozłożymy na czynniki zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia (fragment rachunków zaznaczony kolorem żółtym):

\(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\)

\(1-3x^2=0/:(-3)\)

\(x^2-\frac{1}{3}=0\)

\((x-\sqrt{\frac{1}{3}})(x+\sqrt{\frac{1}{3}})=0\)

Znaleźliśmy zatem dwa pierwiastki równania kwadratowego, które stanowią jednocześnie rozwiązanie naszego równania wykładniczego:

\(x_1=-\sqrt{\frac{1}{3}}\)

\(x_2=\sqrt{\frac{1}{3}}\)

Możemy jeszcze nieco przekształcić liczbę \(\sqrt{\frac{1}{3}}\):

\(\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)

ksiązki Odpowiedź

Równanie ma dwa rozwiązania:
\(x_1=-\frac{\sqrt{3}}{3}, \ x_2=\frac{\sqrt{3}}{3}\)

© medianauka.pl, 2009-11-28, ZAD-400

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Rozwiązać równanie wykładnicze \(8^{2x-4}=256\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Rozwiązać równanie wykładnicze \((\sqrt{2}+1)^{x+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Rozwiązać równanie wykładnicze \((\frac{1}{2})^{x-1}-2^{2x}-1=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Rozwiązać równanie wykładnicze \(4^x-2^{x+1}=-1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Rozwiązać równanie:

a) \(2^x=3\)

b) \(2^x=3\)

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.