Zadanie - Równanie wykładnicze - Zadanie: Rozwiązać równanie wykładnicze

Treść zadania:

Rozwiązać równanie wykładnicze \((\sqrt{2}+1)^{x+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1\).


ksiązki Rozwiązanie zadania

Doprowadzamy liczby po obu stronach równania do potęg o jednakowych podstawach. Stosujemy tutaj metodę, często wykorzystywaną w różnych zadaniach, w których pojawia się pierwiastek.

\((\sqrt{2}+1)^{x+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1\)

\((\sqrt{2}+1)^{x+\sqrt{2}}=(\sqrt{2}-1)\cdot 1\)

\((\sqrt{2}+1)^{x+\sqrt{2}}=\frac{(\sqrt{2}-1)\cdot (\sqrt{2}+1)}{\sqrt{2}+1}\)

\((\sqrt{2}+1)^{x+\sqrt{2}}=\frac{(\sqrt{2})^2-1^2}{\sqrt{2}+1}\)

\((\sqrt{2}+1)^{x+\sqrt{2}}=\frac{2-1}{\sqrt{2}+1}\)

\((\sqrt{2}+1)^{x+\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}+1}\)

Zastosowaliśmy tutaj wzór skróconego mnożenia:

\((a-b)(a+b)=a^2-b^2\)

Po prawej stronie równania możemy się pozbyć ułamka, wykorzystując własność potęg:

\(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\)

\((\sqrt{2}+1)^{x+\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}+1}\)

\((\sqrt{2}+1)^{x+\sqrt{2}}=(\sqrt{2}+1)^{-1}\)

Znając twierdzenie o równości potęg, możemy przyrównać do siebie wykładniki potęg. Dalej już wystarczy rozwiązać zwykłę równanie liniowe, otrzymując rozwiązanie równania.

\(x+\sqrt{2}=-1\)

\(x=-1-\sqrt{2}\)

ksiązki Odpowiedź

Rozwiązaniem równania jest liczba \(x=-1-\sqrt{2}\)

© medianauka.pl, 2009-11-28, ZAD-402

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Rozwiązać równanie wykładnicze \(3^{\frac{1}{x}}=27^x\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Rozwiązać równanie wykładnicze \(8^{2x-4}=256\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Rozwiązać równanie wykładnicze \((\frac{1}{2})^{x-1}-2^{2x}-1=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Rozwiązać równanie wykładnicze \(4^x-2^{x+1}=-1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Rozwiązać równanie:

a) \(2^x=3\)

b) \(2^x=3\)

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.