Zadanie - równanie wykładnicze
Treść zadania:
Rozwiązać równanie:
a) \(2^x=3\)
b) \(2^x=3\)
Rozwiązanie zadania
Aby rozwiązać oba równania musimy liczby po obu stronach równania doprowadzić do postaci potęg o równych podstawach. Aby to zrobić, możemy skorzystać z własności logarytmów.
a) Rozwiązujemy równanie pierwsze:
Liczbę 3 możemy zatem przedsatwić jako odpowiednią potęgę liczby 2. Otrzymujemy zatem:
\(2^x=2^{\log_{2}3}\)
Na mocy twierdzenia o równości potęg możemy przyrównać do siebie wykładniki potęg, otrzymując jednocześnie rozwiązanie równania. Wartość \(\log_{2}3\) mozna już odczytać z tablic lub obliczyć za pomocą kalkulatora. Można też rozwiązanie pozostawic w takiej postaci.
\(x=\log_{2}3\)
Z tablic matematycznych lub za pomocą kalkulatora albo arkusza kalkulacyjnego odczytujemy wartość tego logarytmu. Jest to w przybliżeniu \(1,584962501\).
b) W sposób analogiczny rozwiązujemy równanie drugie:
Liczbę 2 możemy zatem przedsatwić jako liczbę 3 podniesioną do odpowiedniej potęgi. Otrzymujemy zatem:
\(3^x=3^{\log_{3}2}\)
Otrzymujemy rozwiązanie:
\(x=\log_{3}2\)
Tym razem jest to w przybliżeniu \(0,630929754\).
Odpowiedź
a) Rozwiązaniem równania \(2^x=3\) jest liczba \(\log_{2}3\approx 1,584962501\).
b) Rozwiązaniem równania \(3x=2\) jest liczba \(\log_{3}2\approx 0,630929754\).
© medianauka.pl, 2009-11-30, ZAD-407
Zadania podobne
Zadanie nr 3.
Rozwiązać równanie wykładnicze \((\sqrt{2}+1)^{x+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1\).
Zadanie nr 4.
Rozwiązać równanie wykładnicze \((\frac{1}{2})^{x-1}-2^{2x}-1=0\).