Zadanie - własności logarytmów - oblicz wartość wyrażenia

Treść zadania:

Oblicz wartość wyrażenia \(W=5\log{a}-2\log{\frac{a^3}{b^2}}+\log{ab^6}\) dla \(a=\frac{7}{11}\) i \(b=\frac{1}{10}\).


ksiązki Rozwiązanie zadania

Aby rozwiązać to zadanie musimy skorzystać z różnych własności logarytmów. Oto pierwsza z nich:

\(n\cdot {log_{a}{b}}= \log_{a}{b^n}\)

Możemy zatem napisać:

\(W=5\log{a}-2\log{\frac{a^3}{b^2}}+\log{ab^6}=\)

\(=\log{a^5}-\log{(\frac{a^3}{b^2})^2}+\log{ab^6}=\)

\(=\log{a^5}-\log{\frac{a^6}{b^4}}+\log{ab^6}\)

W ostatnim kroku zastosowaliśmy własność działań na potęgach:

\((a^n)^m=a^{m\cdot n}\)

W kolejnym kroku skorzystamy z własności różnicy dwóch logarytmów:

\(\log_{a}{b}-\log_{a}{c}=\log_{a}{\frac{b}{c}}\)

Mamy więc:

\(W=\log{a^5}-\log{\frac{a^6}{b^4}}+\log{ab^6}=\)

\(=\log{(a^5:\frac{a^6}{b^4})}+\log{ab^6}=\)

\(=\log{(\cancel{a^5}\cdot \frac{b^4}{a^{\cancel{6}}})}+\log{ab^6}=\)

\(=\log{\frac{b^4}{a}}+\log{ab^6}\)

W kolejnym kroku skorzystamy z własności sumy dwóch logarytmów:

\(\log_{a}{b}+\log_{a}{c}=\log_{a}{(bc)}\)

Otrzymujemy więc:

\(W=\log{\frac{b^4}{a}}+\log{ab^6}=\)

\(=\log{(\frac{b^4}{a}\cdot ab^6)}=\)

\(=\log{(\frac{b^4}{\cancel{a}}\cdot \cancel{a}b^6)}=\)

\(=\log{(b^4\cdot b^6)}= \\ =\log{b^{10}}=10\log{b}\)

Na końcu obliczeń znów skorzystaliśmy z własności działań na logarytmach, przytoczonej na samym początku.
Zauważmy, że zredukowała się zmienna \(a\) i aby obliczyć wartość wyrażenia, wystarczy za \(b\) podstawić wartość liczbową.

\(W=10\log{b}=10\log{\frac{1}{10}}=10\cdot(-1)=-10\)

Dlaczego \(\log{(\frac{1}{10})}=-1\)? Podstawą logarytmu jest liczba \(10\), a liczbą logarytmowaną jest \(\frac{1}{10}\). Pytamy więc, do jakiej potęgi należy podnieść liczbę \(10\), aby otrzymać \(\frac{1}{10}\) i otrzymujemy odpowiedź: \(-1\).

ksiązki Odpowiedź

\(W=-10\)

© medianauka.pl, 2009-12-01, ZAD-408

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Rozwiązać równanie:

a) \(2^x=3\)

b) \(2^x=3\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Oblicz wartość wyrażenia \(4^{1-\log_{2}{3}}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Oblicz: \(\frac{5^{-\log_{5}{\frac{1}{8}}}}{2\log_{5}{10}-\log_{5}{4}}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Oblicz wartość wyrażenia: \(W=\log_{\frac{1}{3}}{x}+\log_{9}{x^2}+\log_{\sqrt{3}}{\sqrt{x}}-log_{3}{x}\) dla \(x>0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Oblicz wartość wyrażenia: \(\log_{4}{a}+4\log_{a}{2}\) wiedząc, że \(\log_{16}{a}=3\) i \(a>1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Oblicz:

a) \(\log_{5}{25\sqrt[3]{5}}\)

b) \(\log_{2}{\frac{\sqrt{2}}{4}}\)

c) \(\log_{2}{16^{\log_{3}{\sqrt{3}}}}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 7 — maturalne.

Liczba \(\log_{\sqrt{2}}{(2\sqrt{2})}\) jest równa:

A. \(\frac{3}{2}\)

B. \(2\)

C. \(\frac{5}{2}\)

D. \(3\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 8 — maturalne.

Suma \(\log_8{16}+1 jest równa

A. \(3\)

B. \(\frac{3}{2}\)

C. \(\log_8{17}\)

D. \(\frac{7}{3}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 9 — maturalne.

Liczba \(2\log_2{3}-2\log_2{5}\) jest równa:

A. \(\log_2 \frac{9}{25}\)

B. \(\log_2 \frac{3}{5}\)

C. \(\log_2 \frac{9}{5}\)

D. \(\log_2 \frac{6}{25}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 10 — maturalne.

Liczba \(2\log_3{6}-\log_3{4}\) jest równa:

  1. \(4\)
  2. \(2\)
  3. \(2\log_3{2}\)
  4. \(\log_3{8}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 11 — maturalne.

Liczba \(\log_{5}{\sqrt{125}}\) jest równa:

A. \(\frac{2}{3}\)

B. \(2\)

C. \(3\)

D. \(\frac{3}{2}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 12 — maturalne.

Suma \(2\log{\sqrt{10}}+\log{10^3}\) jest równa

A. \(2\)

B. \(3\)

C. \(4\)

D. \(5\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 13 — maturalne.

Liczba \(\log_{4}{2}+2\log_{4}{8}\) jest równa

A. \(6\log_{4}{10}\)

B. \(16\)

C. \(5\)

D. \(6\log_{4}{16}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 14 — maturalne.

Liczba \(\log_{3}{\sqrt{27}}−\log_{27}{\sqrt{3}}\) jest równa

A. \(\frac{4}{3}\)

B. \(\frac{1}{2}\)

C. \(\frac{11}{12}\)

D. 3

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 15 — maturalne.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(\log_9{27}+\log_9{3}\) jest równa

A. 81

B. 9

C. 4

D. 2

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 16 — maturalne.

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=81^{\log_3{x}}+\frac{2\cdot\log_2 {\sqrt{7}}\cdot \log_3{2}}{3}\cdot x^2-6x\) dla każdej liczby dodatniej \(x\).

1. Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej \(x\) wyrażenie \(81^{\log_3{x}}+\frac{2\cdot\log_2 {\sqrt{7}}\cdot \log_3{2}}{3}\cdot x^2-6x\) można równoważnie przekształcić do postaci \(x^4+x^2-6x\).

2. Oblicz najmniejszą wartość funkcji \(f\) określonej dla każdej liczby dodatniej \(x\). Zapisz obliczenia. Wskazówka: przyjmij, że wzór funkcji \(f\) można przedstawić w postaci \(f(x)=x^4+x^2-6x\).

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.