Nauka » Matematyka » Logarytm

Zadanie - wyznaczanie logarytmów, logarytmy, obliczanie logarytmów

Treść zadania:

Przedstaw liczbę $0,2$ jako sumę trzech logarytmów o różnych podstawach.

Rozwiązanie zadania

Wystarczy przedstawić liczbę $0,2$ jako sumę trzech dowolnych liczb, a następnie wyrazić je w postaci dowolnych logarytmów o różnych podstawach. Zauważ, że zadanie to ma nieskończenie wiele rozwiązań, gdyż każdą liczbę można przedstawić jako sumę trzech innych liczb na nieskończenie wiele sposobów. Tutaj wystarczy podać jeden z takich przykładów.

$0,2=\frac{1}{5}+1+(-1)$

Jak przedstawić liczbę $\frac{1}{5}$ w postaci dowolnego logarytmu? Skorzystamy z pewnej własności potęg:

$a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}\ dla \ n\in N, \ a\geq 0$

Niech podstawą naszego logarytmu będzie liczba $2$. Zatem:

$\frac{1}{5}=\log_{2}{\sqrt[5]{2}}$, bo $2^{\frac{1}{5}}=\sqrt[5]{2}$

W pozostałych przypadkach obierzmy sobie podstawy logarytmu liczby $3$ i $4$. Mamy więc:

$1=\log_{3}{3}$, bo $3^1=3$

$-1=\log_{4}{\frac{1}{4}}$,bo $4^{-1}=\frac{1}{4}$

Mamy już przykładowe rozwiązanie naszego zadania

$0,2=\frac{1}{5}+1-1=\log_{2}{\sqrt[5]{2}}+\log_{3}{3}+\log_{4}{\frac{1}{4}}$

Odpowiedź

Istnieje nieskończenie wiele rozwiązań tego zadania. Jedno z nich zostało przedstawione poniżej:

$0,2=\log_{2}{\sqrt[5]{2}}+\log_{3}{3}+\log_{4}{\frac{1}{4}}$

Matura z matematyki

Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.

Zbiór zadań z matematyki

Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.

WYKRESY ONLINE

Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne

Zadanie nr 1.

Oblicz:

$a)\log_{3}{\frac{1}{3}} \\ b) \log_{\sqrt{2}}{2} \\ c) \log_{\frac{1}{3}}{9} \\ d) \log_{5}{5} \\ e) \log_{5}{1} \\ f) \log_{2}{\sqrt{2}} \\ g) \log_{3}{\sqrt[3]{3}} \\ h) \log_{2}{2\sqrt[3]{2}} \\ i) \log_{2}{256}$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2 — maturalne.

Skala Richtera służy do określania siły trzęsień ziemi. Siła ta opisana jest wzorem $R=\log{\frac{A}{A_0}}$, gdzie $A$ oznacza amplitudę trzęsienia wyrażoną w centymetrach, $A_0=10^{-4}\ cm$ jest stałą, nazywaną amplitudą wzorcową. 5 maja 2014 roku w Tajlandii miało miejsce trzęsienie ziemi o sile $6,2$ w skali Richtera. Oblicz amplitudę trzęsienia ziemi w Tajlandii i rozstrzygnij, czy jest ona większa, czy – mniejsza od $100\ cm$.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3 — maturalne.

Dane są liczby $a=-\frac{1}{27},\ b=\log_{\frac{1}{4}}{64},\ c=\log_{\frac{1}{3}}{27}$. Iloczyn $abc$ jest równy:

A. $-9$

B. $-\frac{1}{3}$

C. $\frac{1}{3}$

D. $3$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4 — maturalne.

Liczba $\log_{\sqrt{2}}2$ jest równa

A. $2$

B. $4$

C. $\sqrt{2}$

D. $\frac{1}{2}$

Pokaż rozwiązanie zadania.