Zadanie - określanie dziedziny funkcji logarytmicznej

Treść zadania:

Wyznaczyć dziedzinę funkcji \(y=\log_{(-x^2+2x)}{(x^3-x^2)}\).


ksiązki Rozwiązanie zadania

Musimy tutaj wziąć pod uwagę aż trzy warunki.
1) Po pierwsze liczba logarytmowana musi być większa od zera. Mamy więc warunek:

\(x^3-x^2>0\)

\(x^2(x-1)>0\)

Wyjęliśmy tutaj \(x^2\) przed nawias, doprowadzając wielomian do postaci iloczynowej. Otrzymaliśmy nierówność algebraiczną. Wielomian posiada dwa pierwiastki: \(0\) i \(1\). Sporządzamy siatkę znaków. Miejsca zerowe wyznaczają przedziały, które zapisujemy w kolumnach. W rzędach zapisujemy czynniki wielomianu. Ostatni wiersz, to znaki wielomianu. W kratkach zapisujemy znaki czynników dla wartości z poszczególnych przedziałów. Oto tabela:

\(x\)\((-\infty;0)\)0 \((0;1)\)1\((1;+\infty)\)
\(x^2\)+0+++
\(x-1\)---0+
\(x^2(x-1)\)-0-0+

Jak sprawdzić znak czynnika dla danego przedziału? Wystarczy dowolną liczbę z danego przedziału podstawić za niewiadomą i obliczyć wynik. Znak wyniku wpisujemy do kratki tabeli. (np. dla pierwszej kratki znak ustalamy w następujący sposób: weźmy dowolną liczbę z przedziału \((-\infty;0)\), niech to będzie \(-1\) i podstawmy do czynnika wielomianu \(x^2\) i otrzymujemy wynik \((-1)^2=1\), a więc dodatni. Znak "+" wpisujemy do odpowiedniej kratki) Jak znaleźć znak wielomianu? Wystarczy pomnożyć przez siebie w kolumnie jedności ze znakami z poszczególnych kratek. (np. dla pierwszej kolumny \(1\cdot (-1)=-1\), więc znak "-" wpisujemy w ostatnią kratkę pierwszej kolumny) Bezpośrednio z tabeli odczytujemy rozwiązanie. Interesują nas te przedziały, dla których wielomian \(x^2(x-1)\) jest dodatni, a więc:

\(x\in (1;\infty)\)

2) Warunek drugi wynika z tego, iż podstawa logarytmu musi być różna od jedności.

\(-x^2+2x\neq 1\)

\(-x^2+2x-1\neq 0/\cdot (-1)\)

\(x^2-2x+1\neq 0\)

\((x-1)^2\neq 0\)

\(x\neq 1\)

We fragmencie obliczeń zaznaczonym na żółto wykorzystujemy wzór skróconego mnożenia:

\(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\)

Doprowadzamy trójmian kwadratowy do postaci iloczynowej i stąd bezpośrednio odczytujemy wartość pierwiastka, równego jedności.

3) Warunek trzeci wynika z tego, że podstawa logarytmu musi być liczbą większą od zera. Mamy więc:

\(-x^2+2x>0\cdot (-1)\)

\(x^2-2x<0\)

\(x(x-2)<0\)

Mamy nierówność kwadratową i trójmian w postaci iloczynowej. Pierwiastki tego trójmianu, to liczby \(0\) i \(2\). Rozwiązanie odczytujemy ze szkicu wykresu. Współczynnik \(a\) jest dodatni, więc ramiona paraboli skierowane są do góry i wykres przecina oś \(OX\) w punktach \(0\) i \(2\). Szukamy wartości funkcji mniejszych od zera.

Rysunek pomocniczy

\(x\in(0;2)\)


Aby określić dziedzinę naszej funkcji, musimy uwzględnić jednocześnie wszystkie trzy warunki. Możemy je zapisać, używając do tego celu klamry:

\(\begin{cases}x\in (1;\infty)\\x\neq 1\\x\in(0;2) \end{cases}\)

\(\begin{cases}x^3-x^2>0\\-x^2+2x\neq 1\\-x^2+2x>0 \end{cases}\)

Dziedziną naszej funkcji będzie część wspólna powyższych zbiorów. Zaznaczmy je na osi liczbowej.

Oś liczbowa, rysunek pomocniczy

Rozwiązanie odczytujemy na podstawie powyższego rysunku:

\(x\in (1;2)\)

ksiązki Odpowiedź

Dziedziną funkcji \(y=\log_{(-x^2+2x)}{(x^3-x^2)}\) jest zbiór \(x\in (1;2)\)

© medianauka.pl, 2009-12-08, ZAD-417

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Wyznaczyć dziedzinę funkcji \(y=\log(5x^2-3x+1)\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Wyznaczyć dziedzinę funkcji \(y=\log_{\frac{1}{2}}{\frac{x}{x+2}}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Naszkicować wykres funkcji \(y=\log_{\frac{1}{3}}{(x-3)}+1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Naszkicować wykres funkcji \(y=\log_{2}{4x}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Naszkicować wykres funkcji \(y=\log_{\frac{1}{2}}{(\sqrt{2}x+2\sqrt{2})}+1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.