Zadanie - równanie logarytmiczne
Treść zadania:
Rozwiązać równanie \(\log_{x}{x}=2\).
Rozwiązanie zadania
W pierwszej kolejności określamy dziedzinę równania, czyli zbiór wszystkich wartości \(x\), dla których równanie (w tym logarytm) ma sens matematyczny.
Po pierwsze liczba logarytmowana musi być większa od zera, a po drugie podstawa logarytmu musi być liczbą dodatnią i różną od jedności. Oba warunki możemy zapisać w następujący sposób:
\(\begin{cases} x^>0 \\ x\neq 1 \end{cases} \Leftrightarrow x\in (0;1)\cup (1;+\infty)\)
Rozwiązań będziemy szukać w zbiorze określonym powyżej. Aby rozwiązać nasze równanie wystarczy skorzystać z definicji logarytmu. Dla \(a,b\in \mathbb{R}_+\) i \(a\neq 1\):
Mamy więc:
\(\log_{x}{x}=2 \Leftrightarrow x^2=x\)
Dalej już rozwiązujemy równanie kwadratowe, przenosząc wszystkie wyrazy na jedną stronę i wyłączając \(x\) przed nawias. Otrzymujemy postać iloczynową, z której odczytujemy rozwiązanie.
\(x^2=x\)
\(x^2-x=0\)
\(x(x-1)=0\)
\(x_1=0,\ x_2=1\)
Żaden z pierwiastków nie należy do dziedziny naszego równania logarytmicznego, a więc równanie \(\log_{x}{x}=2\) nie ma rozwiązań.
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2009-12-11, ZAD-425
Zadania podobne
Zadanie nr 4.
Rozwiązać równanie logarytmiczne \(\log_{4}{[\log_{2}{(x-4)}]}=2\).
Zadanie nr 5.
Rozwiązać równanie logarytmiczne \(\log_{3}{(1-x)}=\log_{3}{(x-3)}+2\).
Zadanie nr 6.
Rozwiązać równanie logarytmiczne \(\log_{\frac{1}{3}}{(x+2)}+\log_{3}{(x+3)}+1=0\).
Zadanie nr 7.
Rozwiązać równanie logarytmiczne \(\frac{2}{\log{x}+1}-\frac{1}{\log{x}-1}=0\).