Zadanie - równanie logarytmiczne

Treść zadania:

Rozwiązać równanie \(\log_{x}{x}=2\).


ksiązki Rozwiązanie zadania

W pierwszej kolejności określamy dziedzinę równania, czyli zbiór wszystkich wartości \(x\), dla których równanie (w tym logarytm) ma sens matematyczny.

Po pierwsze liczba logarytmowana musi być większa od zera, a po drugie podstawa logarytmu musi być liczbą dodatnią i różną od jedności. Oba warunki możemy zapisać w następujący sposób:

\(\begin{cases} x^>0 \\ x\neq 1 \end{cases} \Leftrightarrow x\in (0;1)\cup (1;+\infty)\)

Rozwiązań będziemy szukać w zbiorze określonym powyżej. Aby rozwiązać nasze równanie wystarczy skorzystać z definicji logarytmu. Dla \(a,b\in \mathbb{R}_+\) i \(a\neq 1\):

\(\log_{a}{b}=c \Leftrightarrow a^c=b\)

Mamy więc:

\(\log_{x}{x}=2 \Leftrightarrow x^2=x\)

Dalej już rozwiązujemy równanie kwadratowe, przenosząc wszystkie wyrazy na jedną stronę i wyłączając \(x\) przed nawias. Otrzymujemy postać iloczynową, z której odczytujemy rozwiązanie.

\(x^2=x\)

\(x^2-x=0\)

\(x(x-1)=0\)

\(x_1=0,\ x_2=1\)

Żaden z pierwiastków nie należy do dziedziny naszego równania logarytmicznego, a więc równanie \(\log_{x}{x}=2\) nie ma rozwiązań.

ksiązki Odpowiedź

Równanie \(\log_{x}{x}=2\) jest sprzeczne.

© medianauka.pl, 2009-12-11, ZAD-425

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Rozwiązać równanie \(\log_{x}{x}=1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Rozwiązać równanie \(\log_{x}{3x}=3\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Rozwiązać równanie \(\log_{2}{(\log_{3}{x})}=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Rozwiązać równanie logarytmiczne \(\log_{4}{[\log_{2}{(x-4)}]}=2\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Rozwiązać równanie logarytmiczne \(\log_{3}{(1-x)}=\log_{3}{(x-3)}+2\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Rozwiązać równanie logarytmiczne \(\log_{\frac{1}{3}}{(x+2)}+\log_{3}{(x+3)}+1=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Rozwiązać równanie logarytmiczne \(\frac{2}{\log{x}+1}-\frac{1}{\log{x}-1}=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.