Zadanie - równanie logarytmiczne

Treść zadania:

Rozwiązanie zadania

Najpierw musimy określić dziedzinę równania, czyli zbiór wszystkich wartości $x$, dla których równanie (w tym logarytm) ma sens matematyczny.

Warunek pierwszy to taki, że liczba logarytmowana musi być większa od zera. Warunek drugi, jaki musi być spełniony jest taki, że podstawa logarytmu musi być liczbą dodatnią i różną od jedności. Oba warunki możemy zapisać, używając klamry lub przedziałów:

$\{\begin{array}{l}{x}^{>}0\\ x\ne 1\end{array}\iff x\in (0;1)\cup (1;+\mathrm{\infty })$

Rozwiązań równania będziemy szukać w zbiorze określonym powyżej.

Aby rozwiązać dane równanie wystarczy skorzystać z definicji logarytmu. Mamy więc dla $a,b\in {\mathbb{R}}_{+}$ i $a\ne 1$:

Mamy więc:

${\log }_{x}x=2\iff x^1=x$

Dalej już rozwiązujemy zwykłe równanie liniowe (pierwszego stopnia). Przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę.

$x^1=x$

$x-x=0$

$0=0$

Równanie ${\log }_{x}x=1$ ma zatem nieskończenie wiele rozwiązań. Cokolwiek byśmy nie podstawili za $x$ (oczywiście w granicy dziedziny równania), otrzymamy zawsze równość prawdziwą.

Odpowiedź

© medianauka.pl, 2009-12-11, ZAD-426

Matura z matematyki

Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.

Zbiór zadań z matematyki

Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.

WYKRESY ONLINE

Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne