Nauka » Matematyka » Równanie logarytmiczne

Zadanie - równanie logarytmiczne

Treść zadania:

Rozwiązać równanie \(\log_{x}{x}=1\).

Rozwiązanie zadania

Najpierw musimy określić dziedzinę równania, czyli zbiór wszystkich wartości \(x\), dla których równanie (w tym logarytm) ma sens matematyczny.

Warunek pierwszy to taki, że liczba logarytmowana musi być większa od zera. Warunek drugi, jaki musi być spełniony jest taki, że podstawa logarytmu musi być liczbą dodatnią i różną od jedności. Oba warunki możemy zapisać, używając klamry lub przedziałów:

\(\begin{cases} x^>0 \\ x\neq 1 \end{cases} \Leftrightarrow x\in (0;1)\cup (1;+\infty)\)

Rozwiązań równania będziemy szukać w zbiorze określonym powyżej.

Aby rozwiązać dane równanie wystarczy skorzystać z definicji logarytmu. Mamy więc dla \(a,b\in \mathbb{R}_+\) i \(a\neq 1\):

\(\log_{a}{b}=c \Leftrightarrow a^c=b\)

Mamy więc:

\(\log_{x}{x}=2 \Leftrightarrow x^1=x\)

Dalej już rozwiązujemy zwykłe równanie liniowe (pierwszego stopnia). Przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę.

\(x^1=x\)

\(x-x=0\)

\(0=0\)

Równanie \(\log_{x}{x}=1\) ma zatem nieskończenie wiele rozwiązań. Cokolwiek byśmy nie podstawili za \(x\) (oczywiście w granicy dziedziny równania), otrzymamy zawsze równość prawdziwą.

Odpowiedź

Równanie \(\log_{x}{x}=1\) jest tożsamościowe (ma nieskończenie wiele rozwiązań) w swojej dziedzinie (dla liczb większych od zera i różne od jedności)