Zadanie - równanie logarytmiczne
Treść zadania:
Rozwiązać równanie logarytmiczne \(\frac{2}{\log{x}+1}-\frac{1}{\log{x}-1}=0\).
Rozwiązanie zadania
W pierwszej kolejności musimy określić dziedzinę danego równania, czyli zbiór wszystkich wartości \(x\), dla których równanie ma sens matematyczny.
Warunek 1: Korzystamy z definicji logarytmu: liczba logarytmowana musi być większa od zera. Logarytmujemy tutaj wartość zmiennej \(x\).
Warunek 2: Ponadto mianowniki obu ułamków muszą być różne od zera.
W równaniach nie zapisano podstaw logarytmów. Oznacza to, że podstawą logarytmów jest liczba 10. Mamy więc trzy warunki, które zapisujemy w układzie. Następnie rozwiązujemy go.
\(\begin{cases} x^>0 \\ \log{x}+1\neq 0 \\ \log{x}-1\neq 0 \end{cases}\)
\(\begin{cases} x^>0 \\ \log{x}\neq -1 \\ \log{x}\neq 1 \end{cases}\)
\(\begin{cases} x^>0 \\ x\neq -\frac{1}{10} \\ x\neq 10 \end{cases}\)
\(x\in (0;10)\cup (10;+\infty)\)
Rozwiązaliśmy tutaj przy okazji dwa proste równania logarytmiczne na podstawie definicji logarytmu.
\(\log{x}\neq -1 \Leftrightarrow 10^{-1}\neq x \Leftrightarrow x\neq \frac{1}{10}\)
oraz
\(\log{x}\neq 1 \Leftrightarrow 10^{1}\neq x \Leftrightarrow x\neq 10\)
W zbiorze określonym wyżej będziemy szukać rozwiązań równania logarytmicznego.
Rozwiązujemy teraz równanie logarytmiczne.
Najłatwiej będzie zastosować tutaj podstawienie za \(\log{x}\) nową zmienną \(t\).
\(\frac{2}{\log{x}+1}-\frac{1}{\log{x}-1}=0\)
\(\log{x}=t\)
\(\frac{2}{t+1}-\frac{1}{t-1}=0\)
Aby rozwiązać powyższe równanie, musimy sprowadzić oba ułamki do wspólnego mianownika, mnożąc licznik i mianownik jednego ułamka przez mianownik drugiego. W mianowniku możemy wówczas zastosować wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.
\(\frac{2}{t+1}-\frac{1}{t-1}=0\)
\(\frac{2(t-1)}{(t+1)(t-1)}-\frac{t+1}{(t-1)(t+1)}=0\)
\(\frac{2(t-1)-(t+1)}{(t-1)(t+1)}=0\)
\(\frac{2t-2-t-1}{(t-1)(t+1)}=0\)
\(\frac{t-3}{(t-1)(t+1)}=0\)
Ułamek jest równy zero, jeżeli jego licznik jest równy zero. Możemy więc przyrównać do zera licznik powyższego ułamka i wrócić do pierwotnej zmiennej.
\(t-3=0\)
\(t=3\)
\(\log{x}=3 \Leftrightarrow 10^3=x\)
\(x=1000\)
Ponieważ liczba 1000 należy do dziedziny równania, jest jednocześnie rozwiązaniem naszego równania logarytmicznego.
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2009-12-12, ZAD-432
Zadania podobne
Zadanie nr 5.
Rozwiązać równanie logarytmiczne \(\log_{4}{[\log_{2}{(x-4)}]}=2\).
Zadanie nr 6.
Rozwiązać równanie logarytmiczne \(\log_{3}{(1-x)}=\log_{3}{(x-3)}+2\).
Zadanie nr 7.
Rozwiązać równanie logarytmiczne \(\log_{\frac{1}{3}}{(x+2)}+\log_{3}{(x+3)}+1=0\).