Zadanie - nierówność logarytmiczna
Treść zadania:
Rozwiązać nierówność logarytmiczną \(\log_{\frac{1}{3}}{x^2}\geq 1\).
Rozwiązanie zadania
W pierwszej kolejności określamy dziedzinę nierówności, czyli zbiór wszystkich wartości \(x\), dla których nierówność ma sens matematyczny.
Liczba logarytmowana musi być większa od zera. Logarytmujemy tutaj wartość zmiennej \(x^2\). Zatem:
\(x^2>0\)
Ponieważ mamy do czynienia z nierównością kwadratową, jej rozwiązanie odczytamy z wykresu:
Zatem dziedziną nierówności logarytmicznej jest zbiór \(\mathbb{R}\setminus \lbrace 0\rbrace\).
Aby rozwiązać nierówność trzeba liczbę \(1\) wyrazić za pomocą logarytmu o podstawie \(\frac{1}{3}\):
\(\log_{\frac{1}{3}}{x^2}\geq 1\)
\(\log_{\frac{1}{3}}{x^2}\geq \log_{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}}\)
Ponieważ podstawa logarytmu \(0<\frac{1}{3}<1\), to funkcja logarytmiczna jest malejąca i nierówności argumentów odpowiada nierówność wartości funkcji o przeciwnym zwrocie. Możemy więc zapisać:
\(x^2\leq \frac{1}{3}\)
\(x^2-\frac{1}{3}\leq 0\)
\((x-\frac{1}{\sqrt{3}})(x+\frac{1}{\sqrt{3}})\leq 0\)
W ostatnim kroku wykorzystaliśmy wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów: \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\). Doprowadziliśmy dwumian kwadratowy do postaci iloczynowej. Mamy dwa pierwiastki, wykres dwumianu kwadratowego przecina więc oś w dwóch punktach. Współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni (równy jedności), więc ramiona paraboli są skierowane do góry. Szukamy (zgodnie ze zwrotem nierówności) wartości mniejszych lub równych zero.
\(x\in(-\frac{1}{\sqrt{3}};\frac{1}{\sqrt{3}})\)
Ponieważ dziedziną nierówności logarytmicznej jest zbiór liczb rzeczywistych z wyjątkiem zera, z powyższego przedziału musimy jeszcze wyeliminować liczbę \(0\), dla której nierówność nie ma sensu matematycznego.
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2009-12-15, ZAD-435
Zadania podobne
Zadanie nr 2.
Rozwiązać nierówność logarytmiczną \(\frac{4\log_{\frac{1}{2}}{x}}{1+\log_{\frac{1}{2}{x}}}\geq 2\).
Zadanie nr 3.
Rozwiązać nierówność logarytmiczną \(\log_{3}{x}+\log_{9}{x}\leq \log_{\frac{1}{3}}{\sqrt{5}}\).
Zadanie nr 4.
Rozwiązać nierówność logarytmiczną \(\log_{\frac{2}{x+1}}{\frac{1}{3}}>0\).