Zadanie - rozwiązać nierówność logarytmiczną
Treść zadania:
Rozwiązać nierówność logarytmiczną \(\log_{x}{3}<0\).
Rozwiązanie zadania
Dziedzina
Zanim przystąpimy do rozwiązania nierówności logarytmicznej, określimy jej dziedzinę, czyli zbiór wszystkich takich wartości \(x\), dla których nierówność (w tym logarytm) ma sens matematyczny. Zgodnie z definicją logarytmu, jego podstawa musi być większa od zera i różna od jedności. Mamy więc warunek, który stanowi dziedzinę naszej nierówności:
\(x\in (0;1)\cup(1;+\infty)\)
Przystępujemy do rozwiązania nierówności logarytmicznej.
Aby rozwiązać nierówność trzeba liczbę \(0\) wyrazić za pomocą logarytmu o podstawie \(x\):
\(\log_{x}{3}<0\)
\(\log_{x}{3}< \log_{x}{1}\)
Przy rozwiązywaniu nierówności logarytmicznych korzystamy z monotoniczności funkcji logarytmicznej.
Gdy popatrzymy na zwrot nierówności, to widzimy, że wartości funkcji logarytmicznej rosną (drugi logarytm jest większy od pierwszego), natomiast ponieważ \(3>1\) (argumenty funkcji maleją) mamy do czynienia z funkcją malejącą. Funkcja logarytmiczna jest malejąca, gdy podstawa logarytmu jest większa od zera i mniejsza od jedności. Zatem musimy napisać, że:
\(x\in (0;1)\)
Uwzględniając dziedzinę nierówności (szukamy części wspólnej obu zbiorów) otrzymujemy rozwiązanie:
(Zobacz też przykłady z artykułu o nierównościach logarytmicznych), jeżeli masz kłopot ze zrozumieniem powyższego toku myślenia.
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2009-12-16, ZAD-436
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Rozwiązać nierówność logarytmiczną \(\log_{\frac{1}{3}}{x^2}\geq 1\).
Zadanie nr 2.
Rozwiązać nierówność logarytmiczną \(\frac{4\log_{\frac{1}{2}}{x}}{1+\log_{\frac{1}{2}{x}}}\geq 2\).
Zadanie nr 3.
Rozwiązać nierówność logarytmiczną \(\log_{3}{x}+\log_{9}{x}\leq \log_{\frac{1}{3}}{\sqrt{5}}\).
Zadanie nr 4.
Rozwiązać nierówność logarytmiczną \(\log_{\frac{2}{x+1}}{\frac{1}{3}}>0\).