Zadanie - nierówność logarytmiczna

Treść zadania:

Rozwiązać nierówność logarytmiczną \(\log_{3}{x}+\log_{9}{x}\leq \log_{\frac{1}{3}}{\sqrt{5}}\).


ksiązki Rozwiązanie zadania

Określamy dziedzinę danej nierówności, czyli zbiór wszystkich wartości \(x\), dla których nierówność (w tym logarytm) ma sens matematyczny.

Zgodnie z definicją logarytmu, wartość logarytmowana (w naszej nierówności jest to zmienna \(x\)) musi być większa od zera.

\(x\in (0;+\infty)\)

Rozwiązań nierówności logarytmicznej będziemy szukać tylko w zbiorze określonym powyżej.

W pierwszej kolejności musimy doprowadzić wszystkie logarytmy do takiej postaci, aby miały jednakową podstawę. Skorzystamy przy tym ze wzoru:

\(\log_{a}{b}=\log_{a}{c}\cdot \log_{c}{b}\)

Zgodnie z powyższym mamy:

tło \(\log_{3}{x}+\log_{9}{x}\leq \log_{\frac{1}{3}}{\sqrt{5}}\)

\(\log_{3}{x}+\log_{9}{3}\cdot \log_{3}{x}\leq \log_{\frac{1}{3}}{3}\cdot \log_{3}{\sqrt{5}}\)

\(\log_{3}{x}+\frac{1}{2}\cdot \log_{3}{x}\leq -1\cdot \log_{3}{\sqrt{5}}/\cdot 2\)

\( 2\log_{3}{x}+\log_{3}{x}\leq -2\cdot \log_{3}{\sqrt{5}}\)

Dla wyjaśnienia: \(\log_{9}{3}=\frac{1}{2}\), bo \(9^{\frac{1}{2}}=\sqrt{9}=3\), \(\log_{\frac{1}{3}}{3}=-1\), bo \((\frac{1}{2})^{-1}=3\)

W dalszej części skorzystamy ze wzoru:

n\log_{a}{b}=\log_{a}{b^n}

\(2\log_{3}{x}+\log_{3}{x}\leq -2\cdot \log_{3}{\sqrt{5}}\)

\(3\log_{3}{x}\leq -2\cdot \log_{3}{\sqrt{5}}\)

\(\log_{3}{x^3}\leq \log_{3}{(\sqrt{5})^{-2}}\)

\(\log_{3}{x^3}\leq \log_{3}{\frac{1}{5}}\)

Ponieważ podstawa logarytmu \(3>1\), to funkcja logarytmiczna jest rosnąca i nierówności argumentów odpowiada nierówność wartości funkcji. Możemy więc zapisać:

\(x^3-\frac{1}{5}\leq 0\)

\(x^3-(\frac{1}{\sqrt[3]{5}})^3\leq 0\)

Otrzymaliśmy nierówność algebraiczną. Wielomian możemy rozłożyć na czynniki, stosując wzór skróconego mnożenia na różnicę sześcianów.

\(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\)

Oznaczenia: \(a\) i \(b\) oznaczają \(a=x, b=\frac{1}{\sqrt[3]{5}}\). Mamy więc:

\(x^3-(\frac{1}{\sqrt[3]{5}})^3\leq 0\)

\((x-\frac{1}{\sqrt[3]{5}})[x^2+\frac{1}{\sqrt[3]{5}}x+(\frac{1}{\sqrt[3]{5}})^2]\leq 0\)

\(x_1=\frac{1}{\sqrt[3]{5}}\)

Mamy tylko jeden pierwiastek. Sporządzamy siatkę znaków. Miejsca zerowe wyznaczają przedziały, które zapisujemy w kolumnach. W rzędach zapisujemy czynniki wielomianu. Ostatni wiersz, to znaki wielomianu. W kratkach zapisujemy znaki czynników dla wartości z poszczególnych przedziałów. Oto tabela:

\(x\)\((-\infty;\frac{1}{\sqrt[3]{5}})\)\(\frac{1}{\sqrt[3]{5}}\)\((\frac{1}{\sqrt[3]{5}};\infty)\)
\(x-\frac{1}{\sqrt[3]{5}}\)\(-\)\(0\)\(+\)

Jak sprawdzić znak czynnika dla danego przedziału? Wystarczy dowolną liczbę z danego przedziału podstawić za niewiadomą i obliczyć wynik. Znak wyniku wpisujemy do kratki tabeli. (np. dla pierwszej kratki znak ustalamy w następujący sposób: weźmy dowolną liczbę z przedziału , niech to będzie 0 i podstawmy do czynnika wielomianu za \(x\) i otrzymujemy wynik ujemny. Znak "-" wpisujemy do odpowiedniej kratki).

Ponieważ szukamy wartości mniejszych lub równych zero, rozwiązanie nierówności algebraicznej jest następujące:

\(x\in (-\infty;\frac{1}{\sqrt[3]{5}}\rangle\)

Uwzględniając dziedzinę nierówności logarytmicznej (przedział zaznaczony na pomarańczowo) otrzymamy rozwiązanie nierówności logarytmicznej. Szukamy części wspólnej obu zbiorów na osi liczbowej.

rysunek pomocniczy

ksiązki Odpowiedź

Rozwiązaniem nierówności logarytmicznej \(\log_{3}{x}+\log_{9}{x}\leq \log_{\frac{1}{3}}{\sqrt{5}}\) jest przedział \((0;\frac{1}{\sqrt[3]{5}}\rangle\).

© medianauka.pl, 2009-12-20, ZAD-438

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Rozwiązać nierówność logarytmiczną \(\log_{\frac{1}{3}}{x^2}\geq 1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Rozwiązać nierówność logarytmiczną \(\log_{x}{3}<0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Rozwiązać nierówność logarytmiczną \(\frac{4\log_{\frac{1}{2}}{x}}{1+\log_{\frac{1}{2}{x}}}\geq 2\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Rozwiązać nierówność logarytmiczną \(\log_{\frac{2}{x+1}}{\frac{1}{3}}>0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Rozwiązać nierówność wykładniczą \(\frac{5^x}{5}\leq 7\).

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.