Zadanie - nierówność logarytmiczna
Treść zadania:
Rozwiązać nierówność logarytmiczną \(\log_{\frac{2}{x+1}}{\frac{1}{3}}>0\).
Rozwiązanie zadania
Najpierw określamy dziedzinę naszej nierówności, czyli zbiór wszystkich wartości \(x\), dla których nierówność (w tym logarytm) ma sens matematyczny.
Zgodnie z definicją logarytmu podstawa logarytmu musi być większa od zera oraz różna od jedności. Ponadto mianownik ułamka musi być różny od zera. Mamy więc trzy warunki:
\(\begin{cases} \frac{2}{x+1}>0 \\ \frac{2}{x+1}\neq 1 \\ x+1\neq 0 \end{cases}\)
W pierwszej nierówności mamy ułamek. Ponieważ w liczniku jest liczba 2, to aby cały ułamek był dodatni, mianownik musi być większy od zera. Przekształcamy też pozostałe zdania.
\(\begin{cases} x+1>0 \\ \frac{2}{x+1}-1\neq 0 \\ x\neq -1 \end{cases}\)
\(\begin{cases} x>-1 \\ \frac{2}{x+1}-\frac{x+1}{x+1}\neq 0 \\ x\neq -1 \end{cases}\)
\(\begin{cases} x>-1 \\ \frac{2-x-1}{x+1}\neq 0 \\ x\neq -1 \end{cases}\)
\(\begin{cases} x>-1 \\ \frac{1-x}{x+1}\neq 0 \\ x\neq -1 \end{cases}\)
Ułamek jest równy zeru, gdy licznik jest równy zeru. Możemy więc napisać:
\(\begin{cases} x>-1 \\ 1-x\neq 0 \\ x\neq -1 \end{cases}\)
\(\begin{cases} x>-1 \\ x\neq 1 \\ x\neq -1 \end{cases}\)
Zatem dziedziną nierówności logarytmicznej jest zbiór \(x\in (-1;1)\cup (1;+\infty)\).
W tym zbiorze będziemy szukać rozwiązań nierówności logarytmicznej
Liczbę zero możemy wyrazić w postaci logarytmu o takiej samej podstawie, jak podstawa logarytmu po lewej stronie nierówności. Dowolna liczba z zakresu dziedziny nierówności podniesiona do zerowej potęgi będzie równa jedności.
\(\log_{\frac{2}{x+1}}{\frac{1}{3}}>0\)
\(\log_{\frac{2}{x+1}}{\frac{1}{3}} >\log_{\frac{2}{x+1}}{1}\)
Dla ułatwienia rozumowania ustawmy logarytmy tak, aby ich wartości rosły.
\(\log_{\frac{2}{x+1}}{1} <\log_{\frac{2}{x+1}}{\frac{1}{3}}\)
Widzimy teraz, że wartości funkcji logarytmicznej rosną (drugi logarytm jest większy od pierwszego), natomiast ponieważ \(1>\frac{1}{3}\) (argumenty funkcji maleją) mamy do czynienia z funkcją malejącą. Funkcja logarytmiczna jest malejąca, gdy podstawa logarytmu jest większa od zera i mniejsza od jedności. Zatem możemy napisać, że:
\(0<\frac{2}{x+1}<1\)
Powyższy warunek lepiej zapisać w postaci układu nierówności i przekształcić nieco drugą nierówność:
\(\begin{cases}\frac{2}{x+1}>0 \\ \frac{2}{x+1}<1\end{cases}\)
\(\begin{cases}\frac{2}{x+1}>0 \\ \frac{2}{x+1}-1<0\end{cases}\)
\(\begin{cases}\frac{2}{x+1}>0 \\ \frac{2}{x+1}-\frac{x+1}{x+1}<0\end{cases}\)
\(\begin{cases}\frac{2}{x+1}>0 \\ \frac{1-x}{x+1}<0\end{cases}\)
W pierwszej nierówności mamy ułamek o dodatnim liczniku, który ma być większy od zera. Jest to możliwe tylko wówczas, gdy mianownik jest również większy od zera.
W drugiej nierówności iloraz możemy zastąpić iloczynem, gdyż znak działania nie ulegnie zmianie (jeśli pomnożymy dwie liczby, to otrzymamy taki sam znak, gdybyśmy je przez siebie podzielili).
\(\begin{cases}\frac{2}{x+1}>0 \\ \frac{1-x}{x+1}<0\end{cases}\)
\(\begin{cases}x+1>0 \\ (1-x)(x+1)<0\end{cases}\)
\(\begin{cases}x>-1 \\ -(x-1)(x+1)<0/\cdot(-1)\end{cases}\)
\(\begin{cases}x>-1 \\ (x-1)(x+1)>0\end{cases}\)
Zajmijmy się teraz tylko drugą nierównością. Jest to nierówność kwadratowa, a wielomian drugiego stopnia jest już w postaci iloczynowej. Rozwiązanie otrzymujemy odczytując je z wykresu. Wykresem jest parabola, której ramiona są skierowane do góry (współczynnik a przy kwadracie niewiadomej jest dodatni - ze wzorów skróconego mnożenia mamy \((x-1)(x+1)=x^2-1)\) i przecina oś \(OX\) w dwóch miejscach zerowych: \(-1\) i \(1\). Szukamy wartości funkcji większych od zera.
Zapisujemy więc w układzie rozwiązanie drugiej nierówności:
\(\begin{cases}x>-1 \\ x\in(-\infty;-1)\cup (1;\infty) \end{cases}\)
Rozwiązania układu szukamy na osi liczbowej jako części wspólnej zbiorów:
Rozwiązaniem układu równań jest zbiór
\(x\in (1;+\infty)\)
Rozwiązanie nierówności logarytmicznej otrzymamy dopiero po uwzględnieniu w powyższym rozwiązaniu wyników zgodnych z dziedziną nierówności. Szukamy więc części wspólnej powyższego zbioru oraz dziedziny nierówności logarytmicznej:
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2009-12-21, ZAD-439
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Rozwiązać nierówność logarytmiczną \(\log_{\frac{1}{3}}{x^2}\geq 1\).
Zadanie nr 3.
Rozwiązać nierówność logarytmiczną \(\frac{4\log_{\frac{1}{2}}{x}}{1+\log_{\frac{1}{2}{x}}}\geq 2\).
Zadanie nr 4.
Rozwiązać nierówność logarytmiczną \(\log_{3}{x}+\log_{9}{x}\leq \log_{\frac{1}{3}}{\sqrt{5}}\).