Zadanie - nierówność wykładnicza
Treść zadania:
Rozwiązać nierówność wykładniczą \((\frac{1}{3})^{-3x-2}\geq \frac{1}{9}\).
Rozwiązanie zadania
Aby rozwiązać nierówność wykładniczą, powinniśmy doprowadzić ją do takiej postaci, aby po obu stronach nierówności były potęgi o takich samych podstawach.
Przekształcimy więc nieco prawą stronę nierówności. Przedstawimy liczbę 1/9 jako kwadrat liczby \(\frac{1}{3}\). Mamy więc:
\((\frac{1}{3})^{-3x-2}\geq \frac{1}{9}\)
\((\frac{1}{3})^{-3x-2}\geq (\frac{1}{3})^2\)
Przy rozwiązywaniu nierówności wykładniczych korzystamy z własności monotoniczności funkcji wykładniczej. Dokładne objaśnienia znajdziesz w artykule nadrzędnym (patrz pasek nawigacji).
Podstawa potęgi jest ułamkiem (\(0<a<1\)), więc funkcja wykładnicza jest malejąca i nierówności argumentów odpowiada nierówność wartości funkcji, ale o przeciwnym zwrocie. Możemy zapisać, że:
\(-3x-2\leq 2\)
\(-3x\leq 4/:(-3)\)
\(x\geq -\frac{4}{3}\)
Dalej już rozwiązaliśmy zwykłą nierówność liniową, otrzymując rozwiązanie nierówności wykładniczej.
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2009-12-21, ZAD-441
Zadania podobne
Zadanie nr 2.
Rozwiązać nierówność wykładniczą \(25\cdot 5^{-x^2+5}-(\frac{1}{5})^{3x}\geq 0\).
Zadanie nr 3.
Rozwiązać nierówność wykładniczą \(\frac{3}{1-2^x}-\frac{2}{2-2^x}\geq0\).
Zadanie nr 4.
Rozwiązać nierówność wykładniczą \(\frac{\frac{1}{3}\cdot 9^{x-2}}{27^x}\geq 1\).