Zadanie - rozwiąż nierówność wykładniczą

Treść zadania:

Rozwiązać nierówność wykładniczą \(25\cdot 5^{-x^2+5}-(\frac{1}{5})^{3x}\geq 0\).


ksiązki Rozwiązanie zadania

Doprowadzimy naszą nierówność do takiej postaci, aby mieć po obu stronach potęgi o jednakowych podstawach.

Liczbę \(25\) można przedstawić jako kwadrat liczby \(5\), natomiast liczbę \(\frac{1}{5}\) jako liczbę \(5\) podniesioną do potęgi \(-1\). Następnie korzystamy z własności działań na potęgach

\(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\)
\((a^m)^n=a^{m\cdot n}\)

\(25\cdot 5^{-x^2+5}-(\frac{1}{5})^{3x}\geq 0\)

\(5^2\cdot 5^{-x^2+5}-(5^{-1})^{3x}\geq 0\)

\(5^{2-x^2+5}-5^{-3x}\geq 0 \\ 5^{-x^2+7}\geq 5^{-3x}\)

Podstawa potęgi \(a>1\), więc funkcja wykładnicza jest rosnąca i nierówności argumentów odpowiada nierówność wartości funkcji o tym samym zwrocie. Możemy zapisać:

\(5^{-x^2+7}\geq 5^{-3x}\)

\(-x^2+7\geq -3x\)

\(-x^2+3x+7\geq 0\)

Otrzymaliśmy nierówność kwadratową. Znajdujemy pierwiastki trójmianu:

\(-x^2+3x+7\geq 0\)

\(a=-1, b=3, c=7\)

\(\Delta=b^2-4ac=3^2-4\cdot (-1)\cdot 7=9+28=37\)

\(x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-3+\sqrt{37}}{-2}=\frac{3-\sqrt{37}}{2}\)

\(x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-3-\sqrt{37}}{-2}=\frac{3+\sqrt{37}}{2}\)

\((x-x_1)(x-x_2)\geq 0\)

Rozwiązanie odczytujemy z wykresu. Ponieważ współczynnik \(a\) jest ujemny, ramiona paraboli są skierowane w dół, a wykres przecina oś \(OX\) w dwóch punktach (miejscach zerowych).

Wykres pomocniczy

Szukamy wartości funkcji większych lub równych zero.

ksiązki Odpowiedź

Rozwiązaniem nierówności \(25\cdot 5^{-x^2+5}-(\frac{1}{5})^{3x}\geq 0\) jest zbiór \(\langle \frac{3-\sqrt{37}}{2};\frac{3+\sqrt{37}}{2} \rangle\).

© medianauka.pl, 2009-12-21, ZAD-442

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Rozwiązać nierówność wykładniczą \(\frac{3^{2x}}{9}\geq 1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Rozwiązać nierówność wykładniczą \((\frac{1}{3})^{-3x-2}\geq \frac{1}{9}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Rozwiązać nierówność wykładniczą \(\frac{3}{1-2^x}-\frac{2}{2-2^x}\geq0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Rozwiązać nierówność wykładniczą \(\frac{\frac{1}{3}\cdot 9^{x-2}}{27^x}\geq 1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.