Zadanie - rozwiąż nierówność wykładniczą
Treść zadania:
Rozwiązać nierówność wykładniczą \(25\cdot 5^{-x^2+5}-(\frac{1}{5})^{3x}\geq 0\).
Rozwiązanie zadania
Doprowadzimy naszą nierówność do takiej postaci, aby mieć po obu stronach potęgi o jednakowych podstawach.
Liczbę \(25\) można przedstawić jako kwadrat liczby \(5\), natomiast liczbę \(\frac{1}{5}\) jako liczbę \(5\) podniesioną do potęgi \(-1\). Następnie korzystamy z własności działań na potęgach
\((a^m)^n=a^{m\cdot n}\)
\(25\cdot 5^{-x^2+5}-(\frac{1}{5})^{3x}\geq 0\)
\(5^2\cdot 5^{-x^2+5}-(5^{-1})^{3x}\geq 0\)
\(5^{2-x^2+5}-5^{-3x}\geq 0 \\ 5^{-x^2+7}\geq 5^{-3x}\)
Podstawa potęgi \(a>1\), więc funkcja wykładnicza jest rosnąca i nierówności argumentów odpowiada nierówność wartości funkcji o tym samym zwrocie. Możemy zapisać:
\(5^{-x^2+7}\geq 5^{-3x}\)
\(-x^2+7\geq -3x\)
\(-x^2+3x+7\geq 0\)
Otrzymaliśmy nierówność kwadratową. Znajdujemy pierwiastki trójmianu:
\(-x^2+3x+7\geq 0\)
\(a=-1, b=3, c=7\)
\(\Delta=b^2-4ac=3^2-4\cdot (-1)\cdot 7=9+28=37\)
\(x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-3+\sqrt{37}}{-2}=\frac{3-\sqrt{37}}{2}\)
\(x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-3-\sqrt{37}}{-2}=\frac{3+\sqrt{37}}{2}\)
\((x-x_1)(x-x_2)\geq 0\)
Rozwiązanie odczytujemy z wykresu. Ponieważ współczynnik \(a\) jest ujemny, ramiona paraboli są skierowane w dół, a wykres przecina oś \(OX\) w dwóch punktach (miejscach zerowych).
Szukamy wartości funkcji większych lub równych zero.
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2009-12-21, ZAD-442
Zadania podobne
Zadanie nr 2.
Rozwiązać nierówność wykładniczą \((\frac{1}{3})^{-3x-2}\geq \frac{1}{9}\).
Zadanie nr 3.
Rozwiązać nierówność wykładniczą \(\frac{3}{1-2^x}-\frac{2}{2-2^x}\geq0\).
Zadanie nr 4.
Rozwiązać nierówność wykładniczą \(\frac{\frac{1}{3}\cdot 9^{x-2}}{27^x}\geq 1\).