Zadanie - równanie kwadratowe z parametrem
Treść zadania:
Dla jakiej wartości parametru \(m\) równanie \(mx^2+4mx-m+1=0\) ma jedno rozwiązanie? Znajdź to rozwiązanie?
Rozwiązanie zadania
Przy \(x^2\) mamy parametr. Rozpatrzmy dwa przypadki:
Przypadek 1
Gdy \(m=0\) mamy:
\(0\cdot x^2+4\cdot 0\cdot x-0+1=0\)
\(-1=0\)
Otrzymaliśmy sprzeczność. Zatem równanie nie ma rozwiązań.
Przypadek 2
Gdy \(m\neq 0\) mamy równanie kwadratowe. Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego:
\(a=m, b=4m, c=-m+1=1-m\)
\(\Delta=b^2-4ac\)
\(\Delta=(4m)^2-4\cdot m\cdot (1-m)=16m^2-4m(1-m)=\)
\(=16m^2-4m+4m^2=20m^2-4m\)
Równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie \(x_{0}=-\frac{b}{2a}\) gdy \(\Delta=0\):
\(20m^2-4m=0/:20\)
\(m^2-\frac{4}{20}m=0\)
\(m^2-\frac{1}{5}m=0\)
\(m(m-\frac{1}{5})=0\)
Powyższe równanie ma dwa pierwiastki: \(0\) i \(\frac{1}{5}\). Liczba \(0\) nie spełnia warunków zadania (patrz przypadek pierwszy). Liczba \(\frac{1}{5}\) jest wartością parametru \(m\), dla którego równanie ma jedno rozwiązanie. Znajdźmy je:
\(x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{4a}{2a}=-2\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2009-12-27, ZAD-449
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Dla jakich wartości parametru \(m\) suma odwrotności pierwiastków równania \(x^2-2(m+1)x+(m^2+3m-18)=0\) ma wartość ujemną?
Zadanie nr 2.
Rozwiązać równanie \(\frac{3}{x-a}=\frac{x+a}{1-x}\) w zależności od parametru \(a\).
Zadanie nr 3.
Rozwiązać równanie \(\frac{2}{x-a}=\frac{x-a}{x}\) w zależności od parametru \(a\).
Zadanie nr 4.
Określić liczbę rozwiązań równania \((a+3)x^2-(a+1)x+1=0\) w zależności od parametru \(a\).
Zadanie nr 5.
Dla jakiej wartości parametru \(m\) równanie \(m^2x^2-6x+9=0\) ma jedno rozwiązanie?
Zadanie nr 6.
Znaleźć taką wartość parametru m, dla której suma kwadratów pierwiastków równania \(x^2-mx-m-1=0\) jest najmniejsza.
Zadanie nr 7 — maturalne.
Dany jest trójmian kwadratowy \(f(x)=x^2+2(m+1)x+6m+1\). Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru m, dla których ten trójmian ma dwa różne pierwiastki \(x_1\), \(x_2\) tego samego znaku, spełniające warunek \(|x_1-x_2|<3\).
Zadanie nr 8 — maturalne.
Dany jest trójmian kwadratowy \(f(x)=(m+1)x^2+2(m-2)x-m+4\). Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których trójmian \(f\) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste \(x_1, x_2\), spełniające warunek \(x_1^2-x_2^2=x_1^4-x_2^4\).
Zadanie nr 9 — maturalne.
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których trójmian kwadratowy \(4x^2-2(m+1)x+m\) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste \(x_1\) oraz \(x_2\), spełniające warunki: \(x_1 \neq 0, x_2\neq 0\) oraz \(x_1+x_2\leq \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}\).