Zadanie - równanie algebraiczne

Treść zadania:

Rozwiązać równanie wielomianowe \(x^6-6x^5+x^4+16x^3+15x^2+22x+15=0\).


ksiązki Rozwiązanie zadania

Aby rozwiązać to równanie należy wielomian występujący po lewej stronie równania doprowadzić do postaci iloczynowej. Szukamy pierwiastków wielomianu wśród podzielników wyrazu wolnego, a więc wśród liczb: \(1,-1,3,-3,5,-5, 15 i -15\).

Obliczamy wartość wielomianu dla tych liczb:

\(W=x^6-6x^5+x^4+16x^3+15x^2+22x+15\_

\(W(1)=1^6-6\cdot 1^5+1^4+16\cdot 1^3+15\cdot 1^2+22\cdot 1+15=\)

\(=1-6+1+16+15+22+15=64\neq 0\)

\(W(-1)=1+6+1-16+15-22+15=0\)

\(W(3)=729-6\cdot 243+81+16\cdot 27+15\cdot 9 +22\cdot 3+15=\)

\(=729-1458+81+432+135+66+15=0\)

\(W(-3)=729+1458+81-432+135-66+15\neq 0\)

\(W(5)=15625-6\cdot 3125+625+16\cdot 125+15\cdot 25 +22\cdot 5+15=\)

\(=15625-18750+625+2000+375+110+15=0\)

\(W(-5)=15625+18750+625-2000+375-110+15\neq 0\)

Można jeszcze obliczyć wartość wielomianu dla \(15\) i \(-15\), jednak mając już trzy pierwiastki wielomianu można poszukać pozostałych pierwiastków potem. Będzie to prawdopodobnie łatwiejsze, gdyż teraz potęga wielomianu jest wysoka i rachunki byłyby uciążliwe.

Skoro liczby \(-1, 3\) i \(5\) są pierwiastkami wielomianu \(W(x)\), to zgodnie z twierdzeniem Bezout wielomian \(W(x)\) dzieli się bez reszty przez \(x+1, x-3, x-5\). Dzieli się też bez reszty przez iloczyn tych jednomianów. Możemy najpierw podzielić \(W(x)\) przez \(x+1\), potem wynik przez kolejny jednomian i tak dalej, jednak efekt osiągniemy szybciej, gdy od razu podzielimy wielomian \(W(x)\) przez iloczyn tych jednomianów.

\((x+1)(x-3)(x-5)=(x^2-3x+x-3)(x-5)=\)

\(=(x^2-2x-3)(x-5)=x^3-5x^2-2x^2+10x-3x+15=\)

\(=x^3-7x^2+7x+15\)

Wykonujemy dzielenie wielomianów:

obliczenia

Podkreślenia w powyższym działaniu oznaczaniu oznacza różnicę wielomianów.

Teraz dalej możemy rozkładać wielomian \(x^3+x^2+x+1\) na czynniki. Szukamy wśród podzielników wyrazu wolnego: \(1\), a więc wśród liczb \(1\) i \(-1\).

\(W_1(x)=x^3+x^2+x+1\)

\(W_1(1)=1+1+1+1=4\)

\(W_1(-1)=-1+1-1+1=0\)

Wykonujemy więc jeszcze dzielenie wielomianu \(W_1(x)\) przez \(x+1\).

obliczenia

Dwumian \(x^2+1\) nie rozkłada się już na czynniki (\(\Delta=b^2-4ac=0-4\cdot 1\cdot 1=-4<0\)

Możemy więc zapisać, że:

\(x^6-6x^5+x^4+16x^3+15x^2+22x+15=\)

\(=(x+1)(x+1)(x-3)(x-5)(x^2+1)=\)

\(=(x+1)^2(x-3)(x-5)(x^2+1)\)

Równanie wielomianowe ma więc 3 rozwiązania:

ksiązki Odpowiedź

\(x_1=-1,\ x_2=3,\ x_3=5\)

© medianauka.pl, 2009-12-28, ZAD-450

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Rozwiązać równanie wykładnicze \((\frac{1}{2})^{x-1}-2^{2x}-1=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Wyznaczyć dziedzinę funkcji \(f(x)=\frac{3x^2-2x+1}{2x^3-3x^2-2x}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Wyznaczyć dziedzinę funkcji \(f(x)=\frac{x^4-x^3+x^2+6x-1}{6x^3-5x^2-2x+1}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Rozwiązać równanie \(x^4+3x^3+4x^2+3x+1=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Rozwiązać równanie \(8x^3-10x^2+x+1=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Dla jakich wartości parametrów \(a\) i \(b\) równanie \(x^4-6x^3+10x^2-bx+a=0\) ma podwójny pierwiastek, równy 3?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Rozwiązać równanie \(3x^2=\frac{6}{x+1}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8.

Rozwiązać równanie \(30x^5-17x^4+27x^3-15x^2-3x+2=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 9 — maturalne.

Rozwiązać równanie \((4-x)(x^2+2x-15)=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 10 — maturalne.

Suma wszystkich pierwiastków równania \((x+3)(x+7)(x-11)=0\) jest równa:

A. \(-1\)

B. \(21\)

C. \(1\)

D. \(-21\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 11 — maturalne.

Wspólnym pierwiastkiem równań \((x^2-1)(x-10)(x-5)=0\) i \(\frac{2x-10}{x-1}=0\) jest liczba:

A. -1

B. 1

C. 5

D. 10

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 12 — maturalne.

Rozwiąż równanie \(9x^3+18x^2-4x-8=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 13 — maturalne.

Rozwiąż równanie \(x^3−7x^2−4x+28=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 14 — maturalne.

Rozwiąż równanie \(x^3−5x^2−9x+45=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 15 — maturalne.

Suma wszystkich rozwiązań równania \(x(x−3)(x+2)=0\) jest równa

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 16 — maturalne.

Rozwiąż równanie \((x^2− 1)(x^2−2x)=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 17 — maturalne.

Iloczyn wszystkich rozwiązań równania \(2x(x^2-9)(x+1)=0\) jest równy

A. -3

B. 3

C. 0

D. 9

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 18 — maturalne.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Jednym z rozwiązań równania \(\sqrt{3}(x^2-2)(x+3)=0\) jest liczba

A. 3

B. 2

C. \(\sqrt{3}\)

D. \(\sqrt{2}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 19 — maturalne.

Rozwiąż równanie \(3x^3-2x^2-12x+8=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.