Zadanie - równanie z wartością bezwzględną

Treść zadania:

Rozwiązać równanie \(|x+1|-|x-1|=5\).


ksiązki Rozwiązanie zadania

Aby rozwiązać to równanie skorzystamy z definicji wartości bezwzględnej:

\(|x|=\begin{cases} x,\ dla\ x\geq 0\\-x,\ dla\ x< 0 \end{cases}\)

W równaniu mamy dwie wartości bezwzględne. Musimy rozpatrzyć kilka przypadków: gdy wyrażenia pod wartościami bezwzględnymi są dodatnie, ujemne, jedno dodatnie, a drugie ujemne i odwrotnie. Zgodnie z definicją wartości bezwzględnej, jeśli wyrażenie pod wartością bezwzględną jest większe lub równe zeru, możemy opuścić wartość bezwzględną, jeśli jest ujemne, opuszczamy wartość bezwzględną zapisując wartość całego wyrażenia ze znakiem minus.

Przypadek 1

\(\begin{cases}x+1\geq 0 \\ x-1\geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x\geq -1 \\ x\geq 1 \end{cases}\)

rysunek pomocniczy

Dla \(x\in \langle 1;+\infty)\) możemy opuścić wartości bezwzględne. Otrzymujemy równanie:

\(x+1|-|x-1|=5\)

\(x+1-(x-1)=5\)\

\(x+1-x+1=5\)

\(2=5\)

Otrzymaliśmy równanie sprzeczne. W tym przypadku równanie nie ma rozwiązania.

Przypadek 2

\(\begin{cases}x+1< 0 \\ x-1< 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x< -1 \\ x< 1 \end{cases}\)

rysunek pomocniczy

Dla \(x\in (-\infty;-1)\) możemy opuścić wartości bezwzględne, jednak musimy w obu przypadkach zmienić znak wyrażenia pod wartością bezwzględną. Otrzymujemy równanie:

\(|x+1|-|x-1|=5\)

\(-(x+1)-[-(x-1)]=5\)

\(-x-1+x-1=5\)

\(-2=5\)

Otrzymaliśmy równanie sprzeczne. W tym przypadku równanie również nie ma rozwiązania.

Przypadek 3

\(\begin{cases}x+1\geq 0 \\ x-1< 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x\geq -1 \\ x< 1 \end{cases}\)

rysunek pomocniczy

Dla \(x\in \langle -1;1)\) możemy opuścić wartości bezwzględne, jednak musimy w przypadku drugiej wartości bezwzględnej musimy zmienić znak wyrażenia pod wartością bezwzględną. Otrzymujemy równanie:

\(|x+1|-|x-1|=5\)

\(x+1-[-(x-1)]=5\)

\(x+1+x-1=5\)

\(2x=5/:2\)

\(x=\frac{5}{2}\)

Liczba \(\frac{5}{2}\) nie należy do przedziału \(\langle -1;1)\), nie jest więc rozwiązaniem równania.

Przypadek 4

\(\begin{cases}x+1< 0 \\ x-1\geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x< -1 \\ x\geq 1 \end{cases}\)

rysunek pomocniczy

\(x\in \emptyset\)

W tym przypadku nie ma takich wartości zmiennej \(x\), dla których spełniony jest powyższy warunek.

ksiązki Odpowiedź

Równanie \(|x+1|-|x-1|=5\) nie ma rozwiązania.

© medianauka.pl, 2009-12-28, ZAD-451

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Rozwiązać nierówność \(2-|x+1|>3+x\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Rozwiązać nierówność \(|2x+1|>3\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Rozwiązać równanie \(|-3x+1|=2x+4\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Rozwiązać równanie \(\frac{|x|}{3}-1=2x\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Dany jest wektor \(\vec{AB}=[2,5]\) zaczepiony w punkcie \(A=(1,1)\). Znaleźć taki punkt \(C\), leżący na prostej \(y=2\), że pole trójkąta \(ABC\) jest równe 10.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 6 — maturalne.

Dana jest funkcja \(f\) określona wzorem

\(f(x)=\begin{cases}x-2 \quad dla \quad x\leq0\\||x+3|-4| \quad dla \quad x>0 \end{cases}\).

Równanie \(f(x)=1\) ma dokładnie

A. jedno rozwiązanie.

B. dwa rozwiązania.

C. cztery rozwiązania.

D. pięć rozwiązań.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 7 — maturalne.

Rozwiąż równanie \(3|x+2|=|x−3|+11\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 8 — maturalne.

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(a\), dla których równanie \(|x−5|=(a−1)^2−4\) ma dwa różne rozwiązania dodatnie.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 9 — maturalne.

Liczba różnych pierwiastków równania \(3x+|x-4|=0\) jest równa

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 10 — maturalne.

Rozwiąż równanie: \(|x−3|=2x+11\).

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.