Zadanie - równanie kwadratowe z wartością bezwzględną
Treść zadania:
Rozwiązać równanie \(2x^2-|x|+1=2\)
Rozwiązanie zadania
Skorzystamy z definicji wartości bezwzględnej:
Mamy więc dwa przypadki:
Przypadek 1
Dla \(x\geq 0\) możemy opuścić wartość bezwzględną. Otrzymujemy wówczas równanie kwadratowe. Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego oraz pierwiastki:
\(2x^2-|x|+1=2\)
\(2x^2-x+1=2\)
\(2x^2-x+1-2=0\)
\(2x^2-x-1=0\)
\(a=2\)
\(b=-1\)
\(c=-1\)
\(\Delta=b^2-4ac=1+8=9\)
\(x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1-\sqrt{9}}{4}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}\)
\(x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}= \frac{1+\sqrt{9}}{4}=\frac{4}{4}=1\)
Liczba \(-\frac{1}{2}\) nie spełnia założeń naszego przypadku, więc nie jest rozwiązaniem równania. Jest nim natomiast liczba \(1\).
Przypadek 2
Dla \(x<0\) możemy opuścić wartość bezwzględną przy zmianie znaku wartości logarytmowanej. Otrzymujemy wówczas równanie kwadratowe. Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego oraz pierwiastki:
\(2x^2-|x|+1=2\)
\(2x^2+x+1=2\)
\(2x^2+x-1=0\)
\(a=2\)
\(b=1\)
\(c=-1\)
\(\Delta=b^2-4ac=1+8=9\)
\(x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1-\sqrt{9}}{4}=\frac{-4}{4}=-1\)
\(x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1+\sqrt{9}}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)
Liczba \(\frac{1}{2}\) nie spełnia założeń naszego przypadku (\(x<0\)), więc nie jest rozwiązaniem równania. Jest nim natomiast liczba \(-1\).
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2009-12-28, ZAD-453
Zadania podobne
Zadanie nr 2.
Rozwiązać równanie kwadratowe:
a) \(x^2+4x-5=0\)
b) \(x^2-22x+121=0\)
c) \(x^2+2x+7=0\)
Zadanie nr 3.
Rozwiązać równanie:
a) \(x^2-\frac{1}{4}x-\frac{1}{8}=0\)
b) \(x^2-10x-119=0\)
Zadanie nr 4.
Znaleźć wszystkie równania kwadratowe, których rozwiązaniem są liczby \(\sqrt{2}, \ \frac{1}{2}\).
Zadanie nr 8 — maturalne.
Turysta zwiedzał zamek stojący na wzgórzu. Droga łącząca parking z zamkiem ma długość 2,1 km. Łączny czas wędrówki turysty z parkingu do zamku i z powrotem, nie licząc czasu poświęconego na zwiedzanie, był równy 1 godzinę i 4 minuty. Oblicz, z jaką średnią prędkością turysta wchodził na wzgórze, jeżeli prędkość ta była o 1 km/h mniejsza od średniej prędkości, z jaką schodził ze wzgórza.
Zadanie nr 9 — maturalne.
Równość \((x\sqrt{2} - 2)^2 = (\sqrt{2} + 2)^2\) jest
A. prawdziwa dla \(x=\sqrt{2}\)
B. prawdziwa dla \(x=-\sqrt{2}\)
C. prawdziwa dla \(x=-1\)
D. fałszywa dla każdej liczby \(x\)
Zadanie nr 10 — maturalne.
W każdym n-kącie wypukłym (n≥ 3) liczba przekątnych jest równa n(n-3)/2. Wielokątem wypukłym, w którym liczba przekątnych jest o 25 większa od liczby boków, jest
A. siedmiokąt.
B. dziesięciokąt.
C. dwunastokąt.
D. piętnastokąt.