Zadanie - równanie kwadratowe z wartością bezwzględną

Treść zadania:

Rozwiązać równanie \(2x^2-|x|+1=2\)


ksiązki Rozwiązanie zadania

Skorzystamy z definicji wartości bezwzględnej:

\(|x|=\begin{cases} x\ dla\ x\geq 0\\-x \ dla \ x<0\end{cases}\)

Mamy więc dwa przypadki:

Przypadek 1

Dla \(x\geq 0\) możemy opuścić wartość bezwzględną. Otrzymujemy wówczas równanie kwadratowe. Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego oraz pierwiastki:

\(2x^2-|x|+1=2\)

\(2x^2-x+1=2\)

\(2x^2-x+1-2=0\)

\(2x^2-x-1=0\)

\(a=2\)

\(b=-1\)

\(c=-1\)

\(\Delta=b^2-4ac=1+8=9\)

\(x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1-\sqrt{9}}{4}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}\)

\(x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}= \frac{1+\sqrt{9}}{4}=\frac{4}{4}=1\)

Liczba \(-\frac{1}{2}\) nie spełnia założeń naszego przypadku, więc nie jest rozwiązaniem równania. Jest nim natomiast liczba \(1\).

Przypadek 2

Dla \(x<0\) możemy opuścić wartość bezwzględną przy zmianie znaku wartości logarytmowanej. Otrzymujemy wówczas równanie kwadratowe. Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego oraz pierwiastki:

\(2x^2-|x|+1=2\)

\(2x^2+x+1=2\)

\(2x^2+x-1=0\)

\(a=2\)

\(b=1\)

\(c=-1\)

\(\Delta=b^2-4ac=1+8=9\)

\(x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1-\sqrt{9}}{4}=\frac{-4}{4}=-1\)

\(x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1+\sqrt{9}}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)

Liczba \(\frac{1}{2}\) nie spełnia założeń naszego przypadku (\(x<0\)), więc nie jest rozwiązaniem równania. Jest nim natomiast liczba \(-1\).

ksiązki Odpowiedź

Rozwiązaniem równania \(2x^2-|x|+1=2\) są liczby 1 i -1.

© medianauka.pl, 2009-12-28, ZAD-453

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Rozwiązać równanie \(2+3+4+...+x=209\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Rozwiązać równanie kwadratowe:

a) \(x^2+4x-5=0\)

b) \(x^2-22x+121=0\)

c) \(x^2+2x+7=0\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Rozwiązać równanie:

a) \(x^2-\frac{1}{4}x-\frac{1}{8}=0\)

b) \(x^2-10x-119=0\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Znaleźć wszystkie równania kwadratowe, których rozwiązaniem są liczby \(\sqrt{2}, \ \frac{1}{2}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Pole kwadratu jest równe 2. Jaka jest długość jego boku?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Rozwiązać równanie \(\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}=1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Rozwiązać równanie \(\frac{1}{1-2x}+\frac{3}{4x+1}=-3\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 8 — maturalne.

Turysta zwiedzał zamek stojący na wzgórzu. Droga łącząca parking z zamkiem ma długość 2,1 km. Łączny czas wędrówki turysty z parkingu do zamku i z powrotem, nie licząc czasu poświęconego na zwiedzanie, był równy 1 godzinę i 4 minuty. Oblicz, z jaką średnią prędkością turysta wchodził na wzgórze, jeżeli prędkość ta była o 1 km/h mniejsza od średniej prędkości, z jaką schodził ze wzgórza.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 9 — maturalne.

Równość \((x\sqrt{2} - 2)^2 = (\sqrt{2} + 2)^2\) jest

A. prawdziwa dla \(x=\sqrt{2}\)

B. prawdziwa dla \(x=-\sqrt{2}\)

C. prawdziwa dla \(x=-1\)

D. fałszywa dla każdej liczby \(x\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 10 — maturalne.

W każdym n-kącie wypukłym (n≥ 3) liczba przekątnych jest równa n(n-3)/2. Wielokątem wypukłym, w którym liczba przekątnych jest o 25 większa od liczby boków, jest

A. siedmiokąt.

B. dziesięciokąt.

C. dwunastokąt.

D. piętnastokąt.

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.