Zadanie - nierówność kwadratowa z wartością bezwzględną

Treść zadania:

Rozwiązać nierówność \(2x^2-|x+1|\leq -1\).


ksiązki Rozwiązanie zadania

Skorzystamy z definicji wartości bezwzględnej:

\(|x|=\begin{cases} x \ dla \ x\geq 0\\-x \ dla \ x< 0 \end{cases}\)

Mamy więc dwa przypadki:

Przypadek 1

Dla \(+1\geq 0 \Leftrightarrow x\geq -1\) możemy opuścić wartość bezwzględną. Otrzymujemy wówczas nierówność kwadratową:

\(2x^2-|x+1|\leq -1\)

\(2x^2-(x+1)+1\leq 0\)

\(2x^2-x-1+1\leq 0\)

\(2x^2-x\leq 0\)

\(2x(x-\frac{1}{2})\leq 0/:2\)

\(x(x-\frac{1}{2})\leq 0\)

\(x_1=0\)\(x_2=\frac{1}{2}\)

W powyższej nierówności można było też obliczyć wyróżnik trójmianu kwadratowego (deltę), jednak łatwiej było wyciągnąć \(2x\) przed nawias i w ten sposób otrzymać postać iloczynową dwumianu kwadratowego. Sporządzamy szkic wykresu. Ramiona paraboli skierowane są ku górze (współczynnik \(a=2\) jest dodatni), parabola przecina oś \(OX\) w punktach \(0\) i \(\frac{1}{2}\). Interesują nas wartości mniejsze bądź równe zero. Na wykres nanosimy nasz warunek \(x\geq -1"\) i odczytujemy rozwiązanie.

rysunek pomocniczy

\(x\in \langle 0;\frac{1}{2}\rangle\)

Przypadek 2

Dla \(+1< 0 \Leftrightarrow x< -1\) możemy opuścić wartość bezwzględną zmieniając znak wyrażenia pod wartością bezwzględną. Otrzymujemy wówczas nierówność kwadratową. Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego oraz pierwiastki, a rozwiązanie odczytujemy z wykresu:\

\(2x^2-|x+1|\leq -1\)

\(2x^2-[-(x+1)]+1\leq 0\)

\(2x^2+x+2\leq 0\)

\(a=2\)

\(b=1\)

\(c=2\)

\(\Delta=b^2-4ac=1-16=-15<0\)

Sporządzamy szkic wykresu trójmianu kwadratowego. Ramiona paraboli skierowane są ku górze (współczynnik \(a=2\) jest dodatni), parabola nie przecina osi \(OX\), gdyż wyróżnik trójmianu jest ujemny (nie ma miejsc zerowych). Interesują nas wartości mniejsze bądź równe zero. Wszystkie wartości trójmianu są dodatnie, więc nierówność nie posiada rozwiązania:

rysunek pomocniczy

\(x\in \emptyset\)

ksiązki Odpowiedź

Rozwiązaniem nierówności \(2x^2-|x+1|\leq -1\) jest zbiór \(x\in \langle 0;\frac{1}{2}\rangle" class="wzor-top" />

© medianauka.pl, 2009-12-28, ZAD-454

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Dla jakiej wartości parametru \(x\) prawdziwa jest równość \(\sqrt{(x^2-2x+1)^2}=x^2-2x+1\)?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Wyznaczyć dziedzinę funkcji \(y=\log(5x^2-3x+1)\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Rozwiązać nierówność:

a) \(x^2+2x-3\geq 0\)

b) \(-x^2+\frac{3}{4}x-\frac{1}{8}> 0\)

c) \(-x^2+2\leq 0\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Rozwiązać nierówność:

a) \(\sqrt{3}x^2+\sqrt{2}x+1< 0\)

b) \(-x^2-2x-5\geq 0\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Rozwiązać nierówność:

a) \(x^2+8x+16> 0\)

b) \(-x^2+2\sqrt{2}x-2\geq 0\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Dla jakich wartości parametru \(m\) nierówność \(x^2-2x-m+1\leq 0\) ma jedno rozwiązanie \(x=1\)?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Dla jakich wartości parametru \(m\) zbiorem rozwiązań nierówności \(x^2+mx-1+m> 0\) jest:

a) zbiór liczb rzeczywistych?

b) zbiór pusty?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8.

Rozwiązać nierówność \(\frac{x}{x+1}\geq 2\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 9 — maturalne.

Rozwiązać nierówność \(2x^2-4x>3x^2-6x\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 10 — maturalne.

Rozwiąż nierówność \(2x^2-4x>(x+3)(x-2)\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 11 — maturalne.

Rozwiąż nierówność \(2x^2−3x>5\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 12 — maturalne.

Rozwiąż nierówność \(3x^2−16x+16>0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 13 — maturalne.

Rozwiąż nierówność \(2(x −1)(x + 3)>x −1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 14 — maturalne.

Rozwiąż nierówność \(x^2-5x ≤ 14\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 15 — maturalne.

Rozwiąż nierówność \(3x^2-3x-9\geq 7\).

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.