Zadanie - nierówność wykładnicza
Treść zadania:
Rozwiązać nierówność wykładniczą \(\frac{5^x}{5}\leq 7\).
Rozwiązanie zadania
Aby rozwiązać nierówność wykładniczą trzeba tak ją przekształcić, aby po obu jej stronach znalazły się potęgi o jednakowych podstawach.
Przekształćmy więc nieco naszą nierówność:
\(\frac{5^x}{5}\leq 7/\cdot 5\)
\(5^x\leq 35\)
Aby rozwiązać tę nierówność musimy doprowadzić liczbę 35 do postaci potęgi o podstawie 5. Nie jest to łatwe zadanie. Musimy skorzystać z jednej z własności logarytmów:
Możemy więc napisać:
\(5^x\leq 35\)
\(5^x\leq 5^{\log_{5}{35}}\)
Podstawa potęgi jest większa od jedności, więc funkcja wykładnicza jest rosnąca i nierówności argumentów odpowiada taka sama nierówność wartości funkcji. Możemy zapisać bez zmiany zwrotu nierówności:
\(5^x\leq 5^{\log_{5}{35}}\)
\(x\leq \log_{5}{35}\)
Jest to rozwiązanie naszej nierówności.
Korzystając z zaawansowanego kalkulatora, tablic matematycznych lub arkusza kalkulacyjnego można pokusić się o wyznaczenie wartości logarytmu.
\(\log_{5}{35}\approx 2,209061955\)
Zatem przybliżone rozwiązanie jest następujące:
\(x\leq 2,209061955\)
© medianauka.pl, 2009-12-28, ZAD-455
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Rozwiązać nierówność logarytmiczną \(\log_{\frac{1}{3}}{x^2}\geq 1\).
Zadanie nr 3.
Rozwiązać nierówność logarytmiczną \(\frac{4\log_{\frac{1}{2}}{x}}{1+\log_{\frac{1}{2}{x}}}\geq 2\).
Zadanie nr 4.
Rozwiązać nierówność logarytmiczną \(\log_{3}{x}+\log_{9}{x}\leq \log_{\frac{1}{3}}{\sqrt{5}}\).
Zadanie nr 5.
Rozwiązać nierówność logarytmiczną \(\log_{\frac{2}{x+1}}{\frac{1}{3}}>0\).