Zadanie - nierówność wykładnicza

Treść zadania:

Rozwiązać nierówność wykładniczą \(\frac{5^x}{5}\leq 7\).


ksiązki Rozwiązanie zadania

Aby rozwiązać nierówność wykładniczą trzeba tak ją przekształcić, aby po obu jej stronach znalazły się potęgi o jednakowych podstawach.

Przekształćmy więc nieco naszą nierówność:

\(\frac{5^x}{5}\leq 7/\cdot 5\)

\(5^x\leq 35\)

Aby rozwiązać tę nierówność musimy doprowadzić liczbę 35 do postaci potęgi o podstawie 5. Nie jest to łatwe zadanie. Musimy skorzystać z jednej z własności logarytmów:

\(a=b^{\log_{b}{a}}\)

Możemy więc napisać:

\(5^x\leq 35\)

\(5^x\leq 5^{\log_{5}{35}}\)

Podstawa potęgi jest większa od jedności, więc funkcja wykładnicza jest rosnąca i nierówności argumentów odpowiada taka sama nierówność wartości funkcji. Możemy zapisać bez zmiany zwrotu nierówności:

\(5^x\leq 5^{\log_{5}{35}}\)

\(x\leq \log_{5}{35}\)

Jest to rozwiązanie naszej nierówności.

Korzystając z zaawansowanego kalkulatora, tablic matematycznych lub arkusza kalkulacyjnego można pokusić się o wyznaczenie wartości logarytmu.

\(\log_{5}{35}\approx 2,209061955\)

Zatem przybliżone rozwiązanie jest następujące:

\(x\leq 2,209061955\)


© medianauka.pl, 2009-12-28, ZAD-455

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Rozwiązać nierówność logarytmiczną \(\log_{\frac{1}{3}}{x^2}\geq 1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Rozwiązać nierówność logarytmiczną \(\log_{x}{3}<0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Rozwiązać nierówność logarytmiczną \(\frac{4\log_{\frac{1}{2}}{x}}{1+\log_{\frac{1}{2}{x}}}\geq 2\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Rozwiązać nierówność logarytmiczną \(\log_{3}{x}+\log_{9}{x}\leq \log_{\frac{1}{3}}{\sqrt{5}}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Rozwiązać nierówność logarytmiczną \(\log_{\frac{2}{x+1}}{\frac{1}{3}}>0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.