zadanie maturalne

Zadanie maturalne nr 1, matura 2017 (poziom rozszerzony)

Treść zadania:

Rozwiąż nierówność \(|x−1|+|x−5| \leq 10−2x\).


ksiązki Rozwiązanie zadania

Skorzystamy z definicji wartości bezwzględnej:

\(|x|=\begin{cases} \ \ x \ dla\ n \geq 0 \\ -x \ dla \ n<0 \end{cases}\)

Słowem, jeżeli wyrażenie pod wartością bezwzględną jest większe lub równe zero, możemy opuścić symbol wartości bezwzględnej. Jeżeli zaś wyrażenie to jest ujemne, to aby opuścić symbol wartości bezwzględnej należy zmienić znak tego wyrażenia na przeciwny.

Ponieważ w nierówności mamy różne wyrażenia pod dwiema wartościami bezwzględnymi, musimy rozpatrzyć aż cztery różne przypadki.

Przypadek 1

Zakładamy, że oba wyrażenia pod wartością bezwzględną są nieujemne. Możemy więc opuścić wartości bezwzględne w naszej nierówności.

\(\begin{cases} x-1 \ge 0 \\ x-5 \ge 0 \\ x-1+x-5 \le 10-2x\end{cases}\)

\(\begin{cases} x \ge 1 \\ x \ge 5 \\ 2x-6 \le 10-2x\end{cases}\)

\(\begin{cases} x \ge 1 \\ x \ge 5 \\ x \le 4\end{cases}\)

Zaznaczamy na wykresie poglądowym przedziały spełniające każdą z powyższych nierówności:

rysunek dla przypadku 1

Z wykresu widać, że nie ma części wspólnej dla wszystkich trzech przedziałów. Zatem w tym przypadki mamy brak rozwiązania.

Przypadek 2

Zakładamy, że oba wyrażenia pod wartością bezwzględną są ujemne. Możemy więc opuścić wartości bezwzględne w naszej nierówności pod warunkiem zmiany znaku tych wyrażeń.

\(\begin{cases} x-1< 0 \\ x-5 < 0 \\ -x+1-x+5 \le 10-2x\end{cases}\)

\(\begin{cases} x<1 \\ x<5 \\ 0 \le 4\end{cases}\)

Trzecia nierówność jest prawdziwa dla każdej wartości x (jest to nierówność tożsamościowa). Zaznaczamy na wykresie poglądowym przedziały spełniające każdą z powyższych nierówności:

rysunek dla przypadku 2

Z wykresu widać, że \(x\in \langle -\infty;1 ) \).

Przypadek 3

Zakładamy, że pierwsze wyrażenie pod wartością bezwzględną jest nieujemne, a drugie ujemne. Możemy więc opuścić wartości bezwzględne w naszej nierówności, przy czym pierwsze wyrażenie pozostaje bez zmian, w drugim zaś zmieniamy jego znak.

\(\begin{cases} x-1 \ge 0 \\ x-5<0 \\ x-1-x+5 \le 10-2x\end{cases}\)

\(\begin{cases} x \ge 1 \\ x<5 \\ 4 \le 10-2x\end{cases}\)

\(\begin{cases} x \ge 1 \\ x<5 \\ x \le 3\end{cases}\)

Zaznaczamy na wykresie poglądowym przedziały spełniające każdą z powyższych nierówności i znajdujemy ich częśc wspólną:

rysunek dla przypadku 3

Z wykresu widać, że \(x\in \langle 1;3 \rangle \).

Przypadek 4

Zakładamy, że pierwsze wyrażenie pod wartością bezwzględną jest ujemne, a drugie nieujemne. Możemy więc opuścić wartości bezwzględne w naszej nierówności, przy czym pierwsze wyrażenie zmienia znak, w drugim zaś nie zmieniamy znaku.

\(\begin{cases} x-1<0 \\ x-5 \ge 0 \\ -x+1+x-5 \le 10-2x\end{cases}\)

\(\begin{cases} x < 1 \\ x \ge 5 \\ x \le 7\end{cases}\)

Zaznaczamy na wykresie poglądowym przedziały spełniające każdą z powyższych nierówności:

rysunek dla przypadku 3

Z wykresu widać, że \(x\in ∅ \).

Uwzględniają wyniki z wszystkich przypadków otrzymujemy \( (-\infty;1 ) \cup \langle 1;3 \rangle = (-\infty;3 \rangle \)

ksiązki Odpowiedź

\( (-\infty;3 \rangle \)

© medianauka.pl, 2022-12-28, ZAD-4567

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


zadanie maturalne

Zadanie nr 1 — maturalne.

Rozwiąż nierówność:

\(\sqrt{x^2+4x+4}<\frac{25}{3}-\sqrt{x^2-6x+9}\)

Zapisz obliczenia. Wskazówka: skorzystaj z tego, że \(\sqrt{a^2}=|a|\) dla każdej liczby rzeczywistej \(a\).

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.