Zadanie maturalne nr 2, matura 2017 (poziom rozszerzony)
Treść zadania:
Dany jest wielomian \(W(x)=2x^3+ax^2−13x+b\). Liczba 3 jest jednym z pierwiastków tego wielomianu. Reszta z dzielenia wielomianu \(W(x)\) przez (x+2) jest równa 20. Oblicz współczynniki \(a\) i \(b\) oraz pozostałe pierwiastki wielomianu \(W(x)\).
Rozwiązanie zadania
Skorzystamy z twierdzenia o reszcie wielomianu:
Reszta dzielenia wielomianu W(x) przez (x−a) jest równa wartości tego wielomianu w punkcie a, tzn. W(a).
Zatem ponieważ reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez wielomian (x+2) jest równa 20, to W(-2)=20.
Ponadto wiedząc, że 3 jest pierwiastkiem wielomianu, to możemy zapisać, że W(3)=0.
Mamy więc układ równań:
\(\begin{cases} W(3)=0 \\ W(-2)=20 \end{cases}\)
Podstawiamy liczbę 3 i -2 za x do naszego wielomianu:
\(\begin{cases} 2\cdot 3^3+a\cdot 3^2-13\cdot 3+b=0 \\ 2\cdot (-2)^3+a\cdot (-2)^2-13\cdot (-2)+b=20 \end{cases}\)
\(\begin{cases} 9a+b+15=0 \\ 4a+b-10=0 \end{cases}\)
Odejmujemy stronami oba równania:
\( 9a-4a+b-b_15-(-10)=0 \)
\(5a+25=0\)
\( 9a-4a+b-b_15-(-10)=0 \)
\(a=-5\)
Wyznaczylismy wartośc parametru a. Wystarczy tę wartośc wpisać do jednego z powyższych równań (przed ich odjęciem) i wyznaczyć wartość parametru b.
\( -20+b-10=0 \)
\(b=30\)
Zapiszmy teraz nasz wielomian W(x), zastępując w nim parametry a i b wyznaczonymi wartościami:
\( W(x)=2x^3+ax^2-13x+b \)
\( W(x)=2x^3-5x^2-13x+30 \)
Z treści zadania wynika, że należy znaleźć pozostałe pierwiastki wielomianu. Można skorzystać z twierdzenia Bezout lub skorzystać z wiedzy, że liczba 3 jest pierwiastkliem naszego wielomianu. Dzieląć W(x) przez (x-3) otrzymamy trójmian kwadratowy, którego łatwiej będzie znaleźć pierwiastki. Wykonujemy dzielnie
\( (2x^3-5x^2-13x+30):(x-3)=2x^2+x-10 \)
\( -2x^3+6x \)
\( \text{----------------}\)
\( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x^2-13x \)
\( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -x^2+3x \)
\( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{----------------}\)
\( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -10x+30 \)
\( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 10x-30 \)
\( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{----------------}\)
\( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \)
Zatem:
\( W(x)=(x-3)(2x^2+x-10) \)
Obliczamy pierwiastki trójmianu kwadratowego:
\( \Delta=1-4\cdot 2\cdot(-10)=81 \)
\( \sqrt{\Delta}=9 \)
\( x_1=\frac{-1-9}{4}=-\frac{5}{2} \)
\( x_2=\frac{-1+9}{4}=2 \)
Odpowiedź
\( a=-5, b=30 \)
\( x_1=\frac{-1-9}{4}=-\frac{5}{2} \)
\( x_2=\frac{-1+9}{4}=2 \)
© medianauka.pl, 2022-12-28, ZAD-4568
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Dla jakiej wartości parametru a wielomian \(W(x)=x^3+2x^2-x+a\) dzieli się bez reszty przez \(x-1\)?
Zadanie nr 2.
Wykonać dzielenie wielomianów:
a) \((x^5+x^2-x+1):(x^3-x+1)\)
b) \((8x^4-2x^3-5x^2-13x-3):(x^2+x+1)\)
c) \((x^{10}-1):(x^2+1)\)
d) \((8x^3+18x^2-9x-8):(x+\frac{1}{2})\)
e) \((x^4-2\sqrt{2}x^3-2x^2+8\sqrt{2}x-8):(x-\sqrt{2})\)
Zadanie nr 3 — maturalne.
Wielomian \(W(x)=6x^3+3x^2-5x+p\) jest podzielny przez dwumian \(x-1\) dla \(p\) równego:
A. \(4\)
B. \(-2\)
C. \(2\)
D. \(-4\)