Zadanie - wykres funkcji z wartością bezwzględną, y=|x^2-x-2|
Treść zadania:
Sporządzić wykres funkcji \(f(x)=|x^2-x-2|\).
Rozwiązanie zadania
Skorzystamy z definicji wartości bezwzględnej:
Mamy więc dwa przypadki:
Przypadek 1
Dla \(x^2-x-2\geq 0\) możemy opuścić wartość bezwzględną. Zbadajmy, dla jakich wartości x możemy to zrobić. Musimy w tym celu rozwiązać nierówność kwadratową:
\(x^2-x-2\geq 0\)
\(a=1, b=-1, c=-2\)\)
\(\Delta=b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot 1 \cdot (-2)=1+8=9\)
\(x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1-3}{2}=-1\)
\(x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1+3}{2}=2\)
\((x+1)(x-2)\geq 0\)
Rozwiązanie odczytujemy z wykresu. Ponieważ współczynnik \(a>0\) ramiona paraboli skierowane są do góry, parabola przecina oś \(OX\) w punktach \(-1\) i \(2\). Szukamy wartości funkcji większych lub równych zero.
Wykres naszej funkcji będziemy zatem sporządzać w przedziale:
\(x\in (-\infty;-1\rangle \cup \langle 2;+\infty)\)
Dla wyżej wyznaczonych wartości zmiennej x możemy opuścić wartość bezwzględną i wówczas otrzymujemy funkcję:
\(f(x)=|x^2-x-2|\)
\(f(x)=x^2-x-2\)
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku w punkcie o współrzędnych:
\(y_w=-\frac{\Delta}{4a}\)
Mamy więc:
\(x_w=-\frac{b}{2a}=-\frac{-1}{2}=\frac{1}{2}\)
\(y_w=-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{9}{4}=-2\frac{1}{4}\)
Mamy już wyznaczone miejsca zerowe funkcji: \(-1\) i \(2\) (spójrz na nierówność kwadratową, jaką wcześniej rozwiązaliśmy). Warto jeszcze wyznaczyć punkt przecięcia się paraboli z osią \(OY\):
\(f(0)=0^2-0-2=-2\)
Podsumowując: mamy wyznaczone przedziały, w których będziemy sporządzać wykres (przedziały wyznaczą pionowe linie przerywane), miejsca zerowe, wierzchołek oraz punkt przecięcia się paraboli z osią \(OY\).
Przypadek 2
Dla \(x^2-x-2<0\) możemy opuścić wartość bezwzględną zmieniając znak wyrażenia pod wartością bezwzględną na przeciwny. Na podstawie przypadku 1 od razu odczytujemy z wykresu dla jakich wartości \(x\) możemy to zrobić.
Wykres naszej funkcji będziemy zatem sporządzać w przedziale:
\(x\in (-1;2)\)
Dla wyżej wyznaczonych wartości zmiennej \(x\) możemy opuścić wartość bezwzględną (pamiętając o zmianie znaku)i wówczas otrzymujemy funkcję:
\(f(x)=|x^2-x-2|\)
\(f(x)=-(x^2-x-2)=-x^2+x+2\)
Znajdźmy miejsca zerowe funkcji:
\(a=-1, b=1, c=2\)
\(\Delta=b^2-4ac=1^2-4\cdot (-1) \cdot 2=1+8=9\)
\(x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1-3}{-2}=2\)
\(x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1+3}{-2}=-1\)
Znajdźmy współrzędne wierzchołka paraboli:
\(x_w=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{-2}=\frac{1}{2}\)
\(y_w=-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{9}{-4}=2\frac{1}{4}\)
Warto jeszcze wyznaczyć punkt przecięcia się paraboli z osią OY:
\(f(0)=-0^2+0+2=2\)
Podsumowując: mamy wyznaczone przedziały, w których będziemy sporządzać wykres (przedziały wyznaczą pionowe linie przerywane), miejsca zerowe, wierzchołek oraz punkt przecięcia się paraboli z osią \(OY\). Wykres sporządzamy na uprzednim układzie współrzędnych:
Otrzymaliśmy w ten sposób wykres funkcji \(f(x)=|x^2-x-2|\).
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2009-12-29, ZAD-457
Zadania podobne
.
Zadanie nr 7 — maturalne.
Na osi liczbowej zaznaczono sumę przedziałów.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Zbiór zaznaczony na osi jest zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności
A. \(|x-3,5|\geq 1,5\)
B. \(|x-1,5|\geq 3,5\)
C. \(|x-3,5|\leq 1,5\)
D. \(|x-1,5|\leq 3,5\)
Zadanie nr 8 — maturalne.
Na rysunku przedstawiony jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność \(|2x-8|\leq 10\)
Stąd wynika, że
A. \(k=2\)
B. \(k=4\)
C. \(k=5\)
D. \(k=9\)
Zadanie nr 9 — maturalne.
Dla każdej liczby \(x\), spełniającej warunek \(-3<x<0\), wyrażenie \(\frac{|x+3|-x+3}{x}\) jest równe:
A. \(2\)
B. \(3\)
C. \(-\frac{6}{x}\)
D. \(\frac{6}{x}\)