Zadanie maturalne nr 11, matura 2017 (poziom rozszerzony)
Treść zadania:
Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkty \(A=(−5, 3)\) i \(B=(0, 6)\), którego środek leży na prostej o równaniu \(x−3y+1=0\).
Rozwiązanie zadania
Oznaczmy przez S=(a,b) współrzędne środka danego okręgu i r - promień tego okręgu.
Pierwsze równanie
Ponieważ okrąg leży na prostej x−3y+1=0, możemy zapisać, że:
\( a-3b+1=0 \)
Drugie równanie
Równanie okręgu dane jest wzorem:
Ponieważ A=(−5, 3) i B=(0, 6) leżą na tym okręgu, spełniają zatem jego równanie. Możemy więc zapisać układ równań:
\( \begin{cases} (-5-a)^2+(3-b)^2=r^2 \\ (0-a)^2+(6-b)^2=r^2 \end{cases} \)
\( \begin{cases} (5+a)^2+(3-b)^2=r^2 \\ a^2+(6-b)^2=r^2 \end{cases} \)
\( (5-a)^2+(3-b)^2=a^2+(6-b)^2 \)
\( 25+10a+a^2+9-6b+b^2=a^2+36-12b+b^2 \)
\( 25+10a+9-6b=36-12b \)
\( 5a+3b-1=0 \)
Podsumowanie
Wykorzystamy teraz oba wyprowadzone równania:
\( \begin{cases} 5a+3b-1=0 \\ a-3b+1=0 \end{cases} \)
\( 6a=0 \)
\( a=0 \)
\( 0-3b+1=0 \)
\( b=\frac{1}{3} \)
\( S=(0,\frac{1}{3}) \)
Mamy współrzędne środka, potrzebujemy jeszcze znać długość promienia r. Skorzystamy z jednego z powyższych równań z r2:
\( (-a)^2+(6-b)^2=r^2 \)
\( (0)^2+(6-\frac{1}{3})^2=r^2 \)
\( r^2=\frac{289}{9} \)
Zatem możemy już zapisać równanie szukanego okręgu:
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2022-12-30, ZAD-4577
Zadania podobne
Zadanie nr 2.
Napisać równanie okręgu, który został zilustrowany na poniższym rysunku.
Zadanie nr 5.
Znaleźć równanie okręgu opisanego na trójkącie równobocznym, wyznaczonym przez punkty \(A=(1,1), B=(5,1), C=(3,2\sqrt{3}+1)\).
Zadanie nr 6.
Dany jest punkt \(A=(-1,1)\). Znaleźć punkt \(B\), jeżeli wiadomo, że \(|\vec{AB}|=4\).
Zadanie nr 7 — maturalne.
Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych \(x\) i \(y\) takich, że \(x^2+y^2=2\), prawdziwa jest nierówność \(x+y\leq 2\).
Zadanie nr 8 — maturalne.
Liczba punktów wspólnych okręgu o równaniu \((x+2)^2+(y-3)^2=4\) z osiami układu współrzędnych jest równa:
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4
Zadanie nr 9 — maturalne.
Dany jest okrąg o środku \(S=(2,3)\) i promieniu \(r=5\). Który z podanych punktów leży na tym okręgu?
A. \(A=(-1, 7)\)
B. \(B=(2, 3)\)
C. \(C=(3, 2)\)
D. \(D=(5, 3)\)
Zadanie nr 10 — maturalne.
Średnicą okręgu jest odcinek \(KL\), gdzie \(K=(6,8)\), \(L=(−6, − 8)\). Równanie tego okręgu ma postać
A. \(x^2+y^2=200\)
B. \(x^2+y^2=100\)
C. \(x^2+y^2=400\)
D. \(x^2+y^2=300\)
Zadanie nr 11 — maturalne.
Dane są okręgi o równaniach \(x^2+y^2−12x−8y+43=0\) i \(x^2+y^2−2ax+4y+a^2−77=0\). Wyznacz wszystkie wartości parametru \(a\), dla których te okręgi mają dokładnie jeden punkt wspólny. Rozważ wszystkie przypadki.