Nauka » Matematyka » Wartość bezwzględna • Przesunięcie wykresu funkcji • Wykres funkcji homograficznej

Zadanie - wykres funkcji z wartością bezwzględną y=1/|x+2|-3

Treść zadania:

Sporządzić wykres funkcji \(f(x)=\frac{1}{|x+2|}-3\).

Rozwiązanie zadania

Skorzystamy z definicji wartości bezwzględnej:

\(|x|=\begin{cases} x \ dla \ x\geq 0 \\ -x \ dla \ x< 0 \end{cases}\)

Mamy więc dwa przypadki:

Przypadek 1

Dla \(x+2>0, x>-2\) (\(x\) nie może być równe liczbie \(-2\) ze względu na dziedzinę funkcji) możemy opuścić wartość bezwzględną.

\(f(x)=\frac{1}{|x+2|}-3\)

\(f(x)=\frac{1}{x+2}-3\)

Otrzymaliśmy funkcję homograficzną. Jej wykresem jest hiperbola. Aby naszkicować jej wykres skorzystamy dodatkowo z wiedzy na temat przesuwania wykresu funkcji w układzie współrzędnych o zadany wektor.

Wykres funkcji \(y=f(x)\) przesunięty w układzie współrzędnych o wektor \([p,q]\) ma wzór:

\(y-q=f(x-p)\)

Jeżeli \(f(x)=\frac{1}{x}\), to \(f(x-p)=\frac{1}{x-p}\). Zapiszemy naszą funkcję w następującej postaci:

\(y-q=f(x-p)\)

\(y-(-3)=\frac{1}{x-(-2)}\)

\(p=-2, q=-3\)

Wystarczy więc przesunąć wykres funkcji \(y=\frac{1}{x}\) w układzie współrzędnych o wektor \([-2,-3]\). Pamiętać też należy, że w omawianym przypadku, zgodnie z założeniem, wykres sporządzamy dla argumentów funkcji \(x>-2\).

Poniżej tabelka zmienności funkcji dla funkcji elementarnej \(y=\frac{1}{x}\).

\(x\)\(\frac{1}{2}\)\(1\)\(2\)\(f(x)\)\(2\)\(1\)\(\frac{1}{2}\)

Sporządzamy więc wykres powyższej funkcji:

Przypadek 2

Dla \(x+2<0, x<-2\) możemy opuścić wartość bezwzględną, pamiętając o zmianie znaku na przeciwny wyrażenia znajdującego się pod wartością bezwzględną.

\(f(x)=\frac{1}{|x+2|}-3\)

\(f(x)=\frac{1}{-(x+2)}-3\)

\(f(x)=-\frac{1}{x+2}-3\)

Aby naszkicować wykres tej funkcji homograficznej, również skorzystamy z wiedzy na temat przesuwania wykresu funkcji w układzie współrzędnych o zadany wektor.

Jeżeli \(f(x)=-\frac{1}{x}\), to \(f(x-p)=-\frac{1}{x-p}\). Zapiszemy naszą funkcję w następującej postaci:

\(y-q=f(x-p)\)

\(y-(-3)=-\frac{1}{x-(-2)}\)

\(p=-2, q=-3\)

Wystarczy więc przesunąć wykres funkcji \(y=-\frac{1}{x}\) w układzie współrzędnych o wektor \([-2,-3]\). Pamiętać też należy, że w omawianym przypadku, zgodnie z założeniem, wykres sporządzamy dla argumentów funkcji \(x<-2\).

Poniżej tabelka zmienności funkcji dla funkcji elementarnej \(y=-\frac{1}{x}\).

\(x\)\(-\frac{1}{2}\)\(-1\)\(-2\)\(f(x)\)\(2\)\(1\)\(\frac{1}{2}\)

Sporządzamy więc wykres powyższej funkcji w tym samym układzie współrzędnych:

Otrzymujemy tym sposobem wykres funkcji \(f(x)=\frac{1}{|x+2|}-3\).