Nauka » Matematyka » Wariancja i odchylenie standardowe

Zadanie maturalne nr 23, matura 2018

Treść zadania:

W zestawie \(2, 2, 2, ..., 2, 4, 4, 4, ..., 4\) liczb jest \(2m\) liczb (\(m\geq 1\)) , w tym \(m\) liczb \(2\) i \(m\) liczb \(4\). Odchylenie standardowe tego zestawu liczb jest równe

A. \(2\)

B. \(1\)

C. \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)

D. \(\sqrt{2}\)

Rozwiązanie zadania

Odchylenie standardowe σ obliczymy ze wzoru:

\( \sigma=\sqrt{\frac{n_1(x_1-\overline{x})^2+n_2(x_2-\overline{x})^2+...+n_k(x_k-\overline{x})^2}{n}} \)

gdzie liczba x₁ powtarza się n₁ razy, ..., x_k powtarza się n_k razy, n oznacza liczbę wszystkich liczb, a \( \overline{x}\) oznacza średnią arytmetyczną zestawu liczb.

W naszym zadaniu:

liczba 2 występuje m razy,
liczba 4 występuje także m razy
mamy łącznie 2 m liczb w zestawie.

Obliczmy średnią arytmetyczną tych liczb:

\( \overline{x} = \frac{2+2+...+2+4+4+...4}{2m}=\frac{2m+4m}{2m}=\frac{6m}{2m}=3 \)

Mamy w zestawie tylko dwie liczby, która każda występuje m razy, zatem:

\( \sigma=\sqrt{\frac{m(2-3)^2+m(4-3)^2}{2m}} \)

\( \sigma=\sqrt{\frac{2m}{2m}} \)

\( \sigma=1 \)

Odpowiedź

Odpowiedź B

Matura z matematyki

Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.

Zbiór zadań z matematyki

Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.

WYKRESY ONLINE

Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne

Zadanie nr 1.

W pewnej populacji rodzin wykonano ankietę badającą miesięczne średnie wydatki rodziny na kulturę. Wyniki przedstawia tabela:

Średnia wysokość wydatku na kulturę	Liczba rodzin
0 zł	2
50 zł	15
100 zł	158
150 zł	52
200 zł	48
250 zł	12
300 zł	3

a) Oblicz ile średnio ankietowana rodzina wydaje pieniędzy w ciągu miesiąca na kulturę.

b) Wyznacz medianę miesięcznych wydatków na kulturę.

c) Oblicz wariancję i odchylenie standardowe miesięcznych wydatków na kulturę.

Pokaż rozwiązanie zadania.