zadanie maturalne

Zadanie maturalne nr 28, matura 2018

Treść zadania:

Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich \(a\), \(b\) prawdziwa jest nierówność.

\(\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}\geq \frac{2}{a+b}\)


ksiązki Rozwiązanie zadania

Przekształćmy nasze wyrażenie

\( \frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}\geq \frac{2}{a+b}\)

\( \frac{2b}{4ab}+\frac{2a}{4ab}\geq \frac{2}{a+b}\)

\( \frac{2a+2b}{4ab}\geq \frac{2}{a+b}\)

\( \frac{2(a+b)}{2\cdot 2ab}\geq \frac{2}{a+b}\)

\( \frac{a+b}{2ab}\geq \frac{2}{a+b}\)

Ponieważ a i b są liczbami dodatnimi, zatem 2ab oraz (a+b), a także iloczyn tych liczb są dodatnie. Możemy więc wykonać mnożenie:

\( \frac{a+b}{2ab}\geq \frac{2}{a+b}/ \cdot 2ab(a+b)\)

\( (a+b)^2\geq 4ab\)

\( a^2+2ab+b^2-4ab\geq 0\)

\( a^2-2ab+b^2\geq 0\)

\( (a-b)^2\geq 0\)

Kwadrat dowolnej liczby jest zawsze dodatni, a więc po przekształceniu naszej nierówności otrzymaliśmy nierówność równoważną, będącą zdaniem prawdziwym dla dowolnych liczb a i b dodatnich. Tym samym zakończyliśmy dowód.


© medianauka.pl, 2023-01-07, ZAD-4617

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


zadanie maturalne

Zadanie nr 1 — maturalne.

Jedną z liczb, które spełniają nierówność \(-x^5+x^3-x<-2\) jest:

A. \(1\)

B. \((-1)\)

C. \(2\)

D. \((-2)\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 2 — maturalne.

Do zbioru rozwiązań nierówności \((x^4+1)(2-x)>0\) nie należy:

A. \((-3)\)

B. \((-1)\)

C. \(1\)

D. \(3\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 3 — maturalne.

Udowodnij, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych \(x\) i \(y\), takich że \(x<y\) , i dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej \(a\) prawdziwa jest nierówność:

\(\frac{x+a}{y+a}+\frac{y}{x}>2\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 4 — maturalne.

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(3(1−x)>2(3x−1)−12x\) jest przedział

A. \((-\frac{5}{3},+\infty)\)

B. \((-\infty,\frac{5}{3})\)

C. \((\frac{5}{3},+\infty)\)

D. \((-\infty,-\frac{5}{3})\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 5 — maturalne.

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(\frac{2}{5}-\frac{x}{3}>\frac{x}{5}\) jest przedział

A. \((-\infty; 0)\)

B. \((0; +\infty)\)

C. \((-\infty; \frac{3}{4})\)

D. \((\frac{3}{4}; +\infty)\)

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.