Zadanie - układ równań liniowych z parametrem

Treść zadania:

Rozwiązanie zadania

Do rozwiązania zadania użyjemy metody wyznacznikowej. Czynimy tak zazwyczaj, gdy mamy do czynienia z układem równań z parametrem tak jak w naszym zadaniu.

Obliczamy wyznacznik układu:

$\{\begin{array}{l}(a+1)x-y=b\\ 2ax+y=c\end{array}$

$W=\left|\begin{array}{cc}a+1& -1\\ 2a& 1\end{array}\right|=a+1+2a=3a+1$

Aby układ równań miał nieskończenie wiele rozwiązań (być układem równań zależnych), wszystkie wyznaczniki układu muszą być równe zero, czyli $W=W_x=W_y=0$.

Przyrównujemy więc wyznacznik układu do zera, zgodnie z powyższym warunkiem. Otrzymujemy równanie liniowe z jedną niewiadomą i rozwiązujemy je ze względ na $a$.

$W=3a+1=0$

$3a=-1/:3$

$a=-\frac{1}{3}$

Obliczmy wyznacznik układu ze względu na $x$. W tym celu współczynniki przy niewiadomej $x$ zastępujemy wyrazami wolnymi. Wyznacznik ten powinien być równy zeru.

$W_x=\left|\begin{array}{cc}b& -1\\ c& 1\end{array}\right|=b\cdot 1-(-1)\cdot c=b+c=0$

$b+c=0\iff b=-c$

Obliczmy wyznacznik układu ze względu na $y$. W tym celu współczynniki przy niewiadomej $y$ zastępujemy wyrazami wolnymi. Podstawiamy też za parametry $a$ oraz $b$ wyznaczone wartości:

$W_y=\left|\begin{array}{cc}a+1& b\\ 2a& c\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}-\frac{1}{3}+1& -c\\ 2\cdot (-\frac{1}{3})& c\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}\frac{2}{3}& -c\\ -\frac{2}{3}& c\end{array}\right|=$

$=\frac{2}{3}\cdot c-(-\frac{2}{3})\cdot (-c)=\frac{2}{3}c-\frac{2}{3}c=0$

Odpowiedź

© medianauka.pl, 2009-12-30, ZAD-462

Matura z matematyki

Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.

Zbiór zadań z matematyki

Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.

WYKRESY ONLINE

Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne