zadanie maturalne

Zadanie maturalne nr 32, matura 2018

Treść zadania:

W układzie współrzędnych punkty \(A=(4,3)\) i \(B=(10,5)\) są wierzchołkami trójkąta ABC. Wierzchołek \(C\) leży na prostej o równaniu \(y=2x+3\). Oblicz współrzędne punktu \(C\), dla którego kąt \(ABC\) jest prosty.


ksiązki Rozwiązanie zadania

Sporządzimy najpierw rysunek poglądowy:

rysunek

Znajdziemy równanie prostej, która przechodzi przez punkty A i B. Ich współrzędne spełniają równanie tej prostej y=ax+b.

\( A=(4,3), B=(10,5)\)

\( y-ax+b\)

\( \begin{cases}3=4a+b \\ 5=10a+b\end{cases} \)

Odejmując pierwsze równanie od drugiego otrzymamy:

\(2=6a/:6\)

\(a=\frac{1}{3}\)

\(b=\frac{5}{3}\)

\(y=\frac{1}{3}x+\frac{5}{3}\)

Znajdziemy teraz równanie prostej y=mx+n, która wyznacza trójkąt prostokątny ABC, taki, że kąt ABC jest kątem prostym. Prosta ta jest prostopadła do prostej wyznaczonej przez punkty A i B. Zatem współczynnik kierunkowy tej prostej jest przeciwny i odwrotny do wyznaczonego.

\(m=-\frac{1}{a}\)

\(m=-\frac{1}{\frac{1}{3}}\)

\(m=-3\)

Prosta ta przechodzi przez punkt B=(10,5), więc jego współrzędne spełniają równanie prostej:

\(y=-3x+n\)

\(5=-3\cdot 10+n\)

\(n=35\)

Równanie prostej wyznaczonej przez punkty B i C ma postać:

\(y=-3x+35\)

Aby znaleźć punkt C, wystarczy znaleźć punkt przecięcia się prostych y=2x+3 i y=-3x+35. Rozwiązujemy więc układ równań:

\( \begin{cases}y=2x+3 \\ y=-3x+35\end{cases} \)

Odejmując równania stronami:

\(0=5x-32\)

\(x=\frac{32}{5}\)

\(y=\frac{32}{5}\cdot 2+3=\frac{79}{5}\)

ksiązki Odpowiedź

\(C=(\frac{32}{5}, \frac{79}{5})\)

© medianauka.pl, 2023-01-08, ZAD-4623

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Dana jest prosta o równaniu \(y=-7x+5\). Znaleźć równanie prostej równoległej do tej prostej, przechodzącej przez początek układu współrzędnych.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Dana jest prosta o równaniu \(y=5x+\frac{1}{5}\). Znaleźć równanie prostej prostopadłej do tej prostej, przechodzącej przez punkt \(A(1,-1)\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Znaleźć równania prostych zawierających boki kwadratu ABCD, jeśli wiadomo, że współrzędne wierzchołków są liczbami całkowitymi.

równania prostych zawierających boki kwadratu ABCD

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Znaleźć równania wszystkich prostych prostopadłych przechodzących przez punkty \(A(1,2), B(2,-1), C(-1,3)\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Znaleźć równanie prostej, która zawiera wysokość w trójkącie \(ABC\) przedstawionym na poniższym rysunku:

wysokość w trójkącie ABC w układzie współrzędnych

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 6 — maturalne.

Proste opisane równaniami \(y=\frac{2}{m-1}x+m-2\) oraz \(y=mx+\frac{1}{m+1}\) są prostopadłe, gdy:

A. \(m=2\)

B. \(m=\frac{1}{2}\)

C. \(m=\frac{1}{3}\)

D. \(m=-2\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 7 — maturalne.

Punkty \(A=(30,32)\) i \(B=(0,8)\) są sąsiednimi wierzchołkami czworokąta \(ABCD \) wpisanego w okrąg. Prosta o równaniu \(x-y+2=0\) jest jedyną osią symetrii tego czworokąta i zawiera przekątną \(AC\). Oblicz współrzędne wierzchołków \(C\) i \(D\) tego czworokąta.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 8 — maturalne.

Prosta l o równaniu \(y=m^2x+3\) jest równoległa do prostej k o równaniu \(y=(4m-4)x-3\). Zatem:

A. \(m=2\)

B. \(m=-2\)

C. \(m=-2-2\sqrt{2}\)

D. \(m=-2+2\sqrt{2}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 9 — maturalne.

Proste o równaniach: \(y=2mx-m^2-1\) oraz \(y=4m^2x+m^2+1\) są prostopadłe dla:

A. \(m=-\frac{1}{2}\)

B. \(m=\frac{1}{2}\)

C. \(m=1\)

D. \(m=2\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 10 — maturalne.

Odległość początku układu współrzędnych od prostej o równaniu \(y = 2x + 4\) jest równa

A. \(\frac{\sqrt{5}}{5}\)

B. \(\frac{4\sqrt{5}}{5}\)

C. \(\frac{4}{5}\)

D. \(4\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 11 — maturalne.

Proste o równaniach \(y=(2m+2)x−2019\) oraz \(y=(3m−3)x+2019\) są równoległe, gdy

A. \(m=-1\)

B. \(m=0\)

C. \(m=1\)

D. \(m=5\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 12 — maturalne.

Prosta o równaniu \(y=ax+b\) jest prostopadła do prostej o równaniu \(y=− 4x+1\) i przechodzi przez punkt \(P=(\frac{1}{2},0)\), gdy

A. \(a=-4\) i \(b=-2\)

B. \(a=\frac{1}{4}\) i \(b=-\frac{1}{8}\)

C. \(a=-4\) i \(b=2\)

D. \(a=\frac{1}{4}\) i \(b=\frac{1}{2}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 13 — maturalne.

Proste o równaniach \(y=(m−2)x\) oraz \(y=\frac{3}{4}x+7\) są równoległe. Wtedy

A. \(m=-\frac{5}{4}\)

B. \(m=\frac{2}{3}\)

C. \(m=\frac{11}{4}\)

D. \(m=\frac{10}{3}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 14 — maturalne.

Na rysunku obok przedstawiono geometryczną interpretację jednego z niżej zapisanych układów

Proste o równaniach \(y=3x-5\) oraz \(y=\frac{(m-3)}{2}+\frac{9}{2}\) są równoległe, gdy

A. \(m=1\)

B. \(m=3\)

C. \(m=6\)

D. \(m=9\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 15 — maturalne.

Dane są cztery proste k, l, m o równaniach:

\(k: y=-x+1\)

\(l: y=\frac{2}{3}x+1\)

\(m: y=-\frac{3}{2}x+4\)

\(n: y=-\frac{2}{3}x-1\)

Wśród tych prostych prostopadłe są

A. proste k oraz l.

B. proste k oraz n.

C. proste l oraz m.

D. proste m oraz n.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 16 — maturalne.

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dana jest prosta \(k\) o równaniu \(y=-\frac{1}{3}x+2\). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Prosta o równaniu \(y=ax+b\) jest równoległa do prostej \(k\) i przechodzi przez punkt \(P=(3,5)\), gdy

A. \(a=3, b=4\)

B. \(a=-\frac{1}{3}, b=4\)

C. \(a=3, b=-4\)

D. \(a=-\frac{1}{3}, b=6\)

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.