Nauka » Matematyka » Równania z wartością bezwzględną

Zadanie maturalne nr 1, matura 2018 (poziom rozszerzony)

Treść zadania:

Rozwiąż równanie $3|x+2|=|x−3|+11$.

Rozwiązanie zadania

Wartość bezwzględną liczby x określamy w następujący sposób:

$|x| = \\begin{cases} x \\text{ dla x\\geq 0} \\\\-x \\text{ dla x<0}\\end{cases}$

Mówiąc inaczej, wartość bezwzględna liczby nieujemnej to ta sama liczba, natomiast wartość bezwzględna liczby ujemnej, to liczba do niej przeciwna.

Mamy równanie:

$ 3|x+2|=|x−3|+11$

Ponieważ w naszym równaniu mamy dwie wartości bezwzględne, musimy rozpatrzyć 4 różne przypadki.

Przypadek 1

$ \begin{cases} x+2\ge 0\\x-3\ge 0 \end{cases} $

$ \begin{cases} x\ge -2\\x\ge 3 \end{cases} $

$ D: x\in \langle 3;\infty) $

Możemy opuścić symbol wartości bezwzględnej, bo dla x z powyższego przedziału mamy tylko do czynienia z wartościami nieujemnymi po wartością bezwzględną. Zatem nasze równanie przyjmuje postać:

$ 3(x+2)=x−3+11$

$ 3x-x=-6+8$

$ 2x=2$

$ x=1\notin D$

Przypadek 2

$ \begin{cases} x+2< 0\\x-3< 0 \end{cases} $

$ \begin{cases} x< -2\\x< 3 \end{cases} $

$ D: x\in (-\infty;-2) $

Możemy opuścić symbol wartości bezwzględnej, zmieniając w obu przypadkach znak na przeciwny:

$ 3(-x-2)=-x+3+11$

$ -3x+x=6+14$

$ -2x=20$

$ x=-10\in D$

Przypadek 3

$ \begin{cases} x+2\ge 0\\x-3< 0 \end{cases} $

$ \begin{cases} x\ge -2\\x< 3 \end{cases} $

$ D: x\in \langle -2;3) $

Nasze równanie przyjmuje postać:

$ 3(x+2)=-x+3+11$

$ 3x+x=-6+14$

$ 4x=8$

$ x=2\in D$

Przypadek 4

$ \begin{cases} x+2< 0\\x-3\ge 0 \end{cases} $

$ \begin{cases} x< -2\\x\ge 3 \end{cases} $

$ D: x\in \emptyset $

Odpowiedź

$ x=2 \vee x=-10$

Matura z matematyki

Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.

Zbiór zadań z matematyki

Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.

WYKRESY ONLINE

Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne

Zadanie nr 1.

Rozwiązać równanie $|x+1|-|x-1|=5$.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Rozwiązać nierówność $2-|x+1|>3+x$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Rozwiązać nierówność $|2x+1|>3$.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Rozwiązać równanie $|-3x+1|=2x+4$.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Rozwiązać równanie $\frac{|x|}{3}-1=2x$.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Dany jest wektor $\vec{AB}=[2,5]$ zaczepiony w punkcie $A=(1,1)$. Znaleźć taki punkt $C$, leżący na prostej $y=2$, że pole trójkąta $ABC$ jest równe 10.

Pokaż rozwiązanie zadania.