zadanie maturalne

Zadanie maturalne nr 3, matura 2018 (poziom rozszerzony)

Treść zadania:

Dany jest czworokąt wypukły \(ABCD\), w którym \(|AD|=|AB|=|BC|=a\), \(|\angle BAD|=60°\) i \(|\angle ADC|=135°\). Oblicz pole czworokąta \(ABCD\).


ksiązki Rozwiązanie zadania

Podstawowa trudność w tym zadaniu to sporządzenie odpowiedniego rysunku.

Zaczniemy od informacji, że |AD|=|AB|=|BC|=a.

rysunek 1

Ponieważ kąt |∠BAD|=60° i |AD|=|AB|=a, to mamy do czynienia z trójkątem równobocznym ABD.

rysunek 1

Wiemy, że |BC|=a, a ponieważ wykazaliśmy, że |BD|= a, więc trójkąt BDC jest trójkątem równoramiennym. W takim trójkącie kąty przy podstawie są sobie równe. Ponieważ |∠ADC|=135°, to |∠CDB|=135°-60°=75°.

Ponieważ suma kątów w trójkącie jest równa 180°, to:

75°+75°+|∠DBC|=180°

|∠DBC|=90°

A więc figura zaznaczona linią przerywaną na poniższym rysunku jest prostokątem o bokach a i a/2.

rysunek 1

Pole czworokątaABCD obliczymy jako sumę pola trójkąta równobocznego ABD i równoramiennego BCD.

\( P_{ABCD}=P_{ABD}+P_{BCD}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}+\frac{1}{2}ah\)

\( P_{ABCD}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}+\frac{1}{2}a\cdot \frac{a}{2}=\frac{\sqrt{3}+1}{4}a^2\)

ksiązki Odpowiedź

\( P_{ABCD}=\frac{\sqrt{3}+1}{4}a^2\)

© medianauka.pl, 2023-01-10, ZAD-4634

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Dany jest trójkąt o wierzchołkach \(A=(-1,0), B=(1,-1)\) i \(C=(1,2)\). Oblicz długość wysokości tego trójkąta opuszczonej z wierzchołka C.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Znaleźć środek ciężkości w trójkącie o wierzchołkach \(A=(-1,0), B=(1,-1)\) i \(C=(1,2)\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Oblicz wysokość w trójkącie równoramiennym o ramionach długości 10 i o podstawie długości 12.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

W trójkącie równoramiennym o ramionach długości 5 wysokość ma długość 4. Oblicz długość podstawy.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

W trójkącie prostokątnym jeden z kątów wewnętrznych ma miarę 30°. Oblicz miarę pozostałych kątów w tym trójkącie.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

W trójkącie \(ABC\) dwa kąty wewnętrzne mają miarę 30°. Długość podstawy jest równa 12. Oblicz długości pozostałych boków trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

W trójkącie \(ABC\) jeden z kątów wewnętrznych ma miarę 30o. Wysokość i bok tego trójkąta, leżące naprzeciwko tego kąta mają długość odpowiednio 3 i 4. Znaleźć długości pozostałych boków tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8.

Czy długość podstawy trójkąta równoramiennego może być dwa razy większa od długości ramienia tego trójkąta?

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 9 — maturalne.

Z odcinków o długościach: \(5, 2a+1, a-1\) można zbudować trójkąt równoramienny. Wynika stąd, że

A. \(a=6\)

B. \(a=4\)

C. \(a=3\)

D. \(a=2\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 10 — maturalne.

Jeden z kątów trójkąta jest trzy razy większy od mniejszego z dwóch pozostałych kątów, które różnią się o \(50°\). Oblicz kąty tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 11 — maturalne.

W trójkącie ostrokątnym \(ABC\) bok \(AB\) ma długość \(c\), długość boku \(BC\) jest równa a oraz \(\angle ABC=\beta\). Dwusieczna kąta \(ABC\) przecina bok \(AC\) trójkąta w punkcie \(E\). Wykaż, że długość odcinka \(BE\) jest równa \(\frac{2ac\cdot \cos{\frac{\beta}{2}}}{a+c}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 12.

Korzystając z własności działań na pierwiastkach lub potęgach oblicz: \(\sqrt{2}\cdot \sqrt[4]{4}:\sqrt[5]{16}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 13 — maturalne.

Dany jest trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Na ramieniu AC tego trójkąta wybrano punkt \(M (M\neq A, M\neq C)\), a na ramieniu \(BC\) wybrano punkt \(N\), w taki sposób, że \(|AM| = |CN|\). Przez punkty \(M\) i \(N\) poprowadzono proste prostopadłe do podstawy \(AB\) tego trójkąta, które wyznaczają na niej punkty \(S\) i \(T\). Udowodnij, że \(|ST| = 1/2|AB|\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 14 — maturalne.

Prosta \(k\) jest styczna w punkcie \(A\) do okręgu o środku \(O\). Punkt \(B\) leży na tym okręgu i miara kąta \(AOB\) jest równa 80°. Przez punkty \(O\) i \(B\) poprowadzono prostą, która przecina prostą \(k\) w punkcie \(C\) (zobacz rysunek).

Zadanie 17, matura 2021

A. 10°

B. 30°

C. 40°

D. 50°

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.