Zadanie maturalne nr 4, matura 2018 (poziom rozszerzony)
Treść zadania:
Z liczb ośmioelementowego zbioru \(Z=\lbrace 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9\rbrace\) tworzymy ośmiowyrazowy ciąg, którego wyrazy nie powtarzają się. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że żadne dwie liczby parzyste nie są sąsiednimi wyrazami utworzonego ciągu. Wynik przedstaw w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.
Rozwiązanie zadania
Moc zbioru Z wynosi \(|Z|=8\).
Na ile sposobów możemy ułożyć 8 cyfr tak, aby się nie powtarzały? Spójrzmy na tę tabelkę. Tworzymy ośmioelementowe ciągi o różnych wyrazach, których kolejność ma znaczenie i nie mogą wystąpić powtórzenia tego samego elementu zbioru. Zatem aby wyznaczyć liczbę elementów zbioru wszystkich zdarzeń elementarnych musimy obliczyć wariację bez powtórzeń (lub permutację P8):
\( V^k_n=\frac{n!}{(n-k)!}\)
\( |\Omega|=V^8_8=\frac{8!}{(8-8)!}=8!\)
Niech A oznacza zdarzenie polegające na tym, że utworzono ciąg, w którym żadne dwie liczby parzyste nie są sąsiednimi wyrazami utworzonego ciągu. Oznaczamy przez p - liczbę parzystą (jest ich 3 w zbiorze), przez n - nieparzystą (jest ich 5 w zbiorze). Wypiszmy wszystkie możliwości ich ułożenia:
- p n p n p n n n
- p n p n n p n n
- p n p n n n p n
- p n p n n n n p
- p n n p n p n n
- p n n p n n p n
- p n n p n n n p
- p n n n p n p n
- p n n n p n n p
- p n n n n p n p
- n p n p n p n n
- n p n p n n p n
- n p n p n n n p
- n p n n p n p n
- n p n n p n n p
- n p n n n p n p
- n n p n p n p n
- n n p n p n n p
- n n p n n p n p
- n n n p n p n p
Na ile sposobów możemy umieścić 3 liczby na 3 miejscach p?
\(P_3=3!\)
Na ile sposobów możemy umieścić 5 liczb na 5 miejscach n?
\(P_5=5!\)
Korzystając z własności mnożenia liczbę zdarzeń sprzyjających A obliczymy następująco:
\(|A|=20\cdot 3!\cdot 5!\)
Zaś prawdopodobieństwo zdarzenia A:
\(P(A)=\frac{20\cdot 3!\cdot 5!}{8!}=\frac{20\cdot 3!\cdot 5!}{5!\cdot 6 \cdot 7\cdot 8}=\frac{20\cdot 6}{ 6 \cdot 7\cdot 8}=\frac{10}{28}=\frac{5}{14}\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2023-01-11, ZAD-4635
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Losujemy dwie osoby z grupy osób, w której znajduje się 4 chłopaków i 3 dziewczyny. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania pary dziewczyna i chłopak?
Zadanie nr 2.
Rzucamy trzy razy monetą. Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia co najmniej dwa razy orła?
Zadanie nr 3.
Oblicz prawdopodobieństwo wyrzucenia co najmniej trzech oczek symetryczną kością do gry.
Zadanie nr 4 — maturalne.
Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Niech p oznacza prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie dwóch orłów w tych trzech rzutach. Wtedy
A. \(0\leq p<0,2\)
B. \(0,2\leq p\leq 0,35\)
C. \(0,35<p\leq 0,5\)
D. \(0,5<p\leq 1\)
Zadanie nr 5 — maturalne.
Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy kolejno dwa razy po jednej liczbie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie równa 30. Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.
Zadanie nr 6 — maturalne.
Wśród 10 tysięcy mieszkańców pewnego miasta przeprowadzono sondaż dotyczący budowy przedszkola publicznego. Wyniki sondażu przedstawiono w tabeli.
| Badane grupy | Liczba osób popierających budowę przedszkola | Liczba osób niepopierających budowy przedszkola |
| Kobiety | 5140 | 1860 |
| Mężczyźni | 2260 | 740 |
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że losowo wybrana osoba, spośród ankietowanych, popiera budowę przedszkola, jeśli wiadomo, że jest mężczyzną. Zakoduj trzy pierwsze cyfry po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
Zadanie nr 7 — maturalne.
W każdym z trzech pojemników znajduje się para kul, z których jedna jest czerwona, a druga – niebieska. Z każdego pojemnika losujemy jedną kulę. Niech \(p\) oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że dokładnie dwie z trzech wylosowanych kul będą czerwone. Wtedy:
A. \(p=\frac{1}{4}\)
B. \(p=\frac{3}{8}\)
C. \(p=\frac{1}{2}\)
D. \(p=\frac{2}{3}\)
Zadanie nr 8 — maturalne.
Wśród 115 osób przeprowadzono badania ankietowe, związane z zakupami w pewnym kiosku. W poniższej tabeli przedstawiono informacje o tym, ile osób kupiło bilety tramwajowe ulgowe oraz ile osób kupiło bilety tramwajowe normalne.
| Rodzaj kupionych biletów | Liczba osób |
| ulgowe | 76 |
| normalne | 41 |
Uwaga! 27 osób spośród ankietowanych kupiło oba rodzaje biletów.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że osoba losowo wybrana spośród ankietowanych nie kupiła żadnego biletu. Wynik przedstaw w formie nieskracalnego ułamka.
Zadanie nr 9 — maturalne.
Jeżeli \(A\) jest zdarzeniem losowym, a \(A'\) zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia \(A\) oraz zachodzi równość \(P(A)=2P(A')\), to:
A. \(P(A)=\frac{2}{3}\)
B. \(P(A)=\frac{1}{2}\)
C. \(P(A)=\frac{1}{3}\)
D. \(P(A)=\frac{1}{6}\)
Zadanie nr 10 — maturalne.
Ze zbioru liczb \(\lbrace 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\rbrace \) losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\), polegającego na wylosowaniu liczb, z których pierwsza jest większa od drugiej o \(4\) lub \(6\).
Zadanie nr 11 — maturalne.
W pudełku jest 50 kuponów, wśród których jest 15 kuponów przegrywających, a pozostałe kupony są wygrywające. Z tego pudełka w sposób losowy wyciągamy jeden kupon. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wyciągniemy kupon wygrywający, jest równe
- \(\frac{15}{35}\)
- \(\frac{1}{50}\)
- \(\frac{15}{30}\)
- \(\frac{35}{50}\)
Zadanie nr 12 — maturalne.
Dane są dwa zbiory: \(A = \lbrace 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700\rbrace \) i \(B = \lbrace 10,11,12,13,14,15,16\rbrace \). Z każdego z nich losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie podzielna przez \(3\). Obliczone prawdopodobieństwo zapisz w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego.
Zadanie nr 13 — maturalne.
W pudełku jest 40 kul. Wśród nich jest 35 kul białych, a pozostałe to kule czerwone. Prawdopodobieństwo wylosowania każdej kuli jest takie samo. Z pudełka losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy kulę czerwoną, jest równe
A. \(\frac{1}{8}\)
B. \(\frac{1}{5}\)
C. \(\frac{1}{40}\)
D. \(\frac{1}{35}\)
Zadanie nr 14 — maturalne.
Ze zbioru liczb {1, 2, 3, 4, 5} losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest liczbą nieparzystą.
Zadanie nr 15 — maturalne.
Ze zbioru {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} losujemy kolejno ze zwracaniem trzy liczby. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że dokładnie dwie spośród trzech wylosowanych liczb będą równe. Wynik zapisz w postaci ułamka nieskracalnego.
Zadanie nr 16 — maturalne.
Z wierzchołków sześcianu \(ABCDEFGH\) losujemy jednocześnie dwa różne wierzchołki. Prawdopodobieństwo tego, że wierzchołki te będą końcami przekątnej sześcianu \(ABCDEFGH\), jest równe
A. \(\frac{1}{7}\)
B. \(\frac{4}{7}\)
C. \(\frac{1}{14}\)
D. \(\frac{3}{7}\)
Zadanie nr 17 — maturalne.
Gracz rzuca dwukrotnie symetryczną sześcienną kostką do gry i oblicza sumę liczb wyrzuconych oczek. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że suma liczb wyrzuconych oczek jest równa 4 lub 5, lub 6.
Zadanie nr 18 — maturalne.
Ze zbioru dziewięcioelementowego M = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} losujemy kolejno ze zwracaniem dwa razy po jednej liczbie. Zdarzenie A polega na wylosowaniu dwóch liczb ze zbioru M, których iloczyn jest równy 24. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A.
Zadanie nr 19 — maturalne.
Ze zbioru ośmiu liczb {2,3,4,5,6,7,8,9} losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że iloczyn wylosowanych liczb jest podzielny przez \(15\). Zapisz obliczenia.