Zadanie maturalne nr 5, matura 2018 (poziom rozszerzony)
Treść zadania:
Trójkąt \(ABC\) jest ostrokątny oraz \(|AC|>|BC|\). Dwusieczna \(d_C\) kąta \(ACB\) przecina bok \(AB\) w punkcie \(K\). Punkt \(L\) jest obrazem punktu \(K\) w symetrii osiowej względem dwusiecznej \(d_A\) kąta \(BAC\), punkt \(M\) jest obrazem punktu \(L\) w symetrii osiowej względem dwusiecznej \(d_C\) kąta \(ACB\), a punkt \(N\) jest obrazem punktu \(M\) w symetrii osiowej względem dwusiecznej \(d_B\) kąta \(ABC\) (zobacz rysunek).
Udowodnij, że na czworokącie \(KNML\) można opisać okrąg.
Rozwiązanie zadania
Kiedy można opisać okrąg na czworokącie? Okrąg można opisać na takim wielokącie, którego symetralne boków przecinają się w jednym punkcie, który stanowi właśnie środek tego okręgu.
Zamiast rozpatrywać czworokąt KLMN rozpatrzmy dwa trójkąty wyznaczone przez punkty KLMN po to, aby skorzystać z własności symetrii osiowej (mamy trzy dwusieczne).
Rozważmy trójkąt KLM. Z definicji symetrii osiowej wynika, że dwusieczna dA jest symetralną boku KL, a dwusieczna dC jest symetralną odcinka LM. Symetralne boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie O, który jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie. Czyli punkt wspólny dwusiecznych dA i dC (symetralnych boków trójkąta KLM) jest środkiem okręgu, którego promieniem jest odcinek OL.
Rozważmy teraz trójkąt LMN. Z definicji symetrii osiowej wynika, że dwusieczna dC jest symetralną boku LM. Analogicznie dwusieczna dB jest symetralną boku MN. Punkt wspólny tych dwusiecznych (symetralnych) jest tym samym punktem, o którym była mowa wyżej i jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie LMN. Zatem musi to być ten sam okrąg.
Wszystkie wierzchołki czworokąta KNML leżą na tym okręgu. To kończy dowód.
© medianauka.pl, 2023-01-12, ZAD-4638
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Znaleźć obraz kwadratu w symetrii osiowej względem prostej przechodzącej przez środki dwóch sąsiadujących boków tego kwadratu.
Zadanie nr 2.
Znaleźć obraz trójkąta prostokątnego w symetrii osiowej względem prostej przechodzącej przez tylko jeden z wierzchołków trójkąta równoległej do przyprostokątnej tego trójkąta.
Zadanie nr 3.
Znaleźć obraz trójkąta \(ABC\), gdzie \(A=(-2,3), B=(2,4), C=(2,-2)\) w symetrii osiowej względem osi \(OX\) i \(OY\).
Zadanie nr 4.
Znaleźć obraz krzywej \(y=3x^2-2x+1\) w symetrii osiowej względem osi \(OX\) i \(OY\).
Zadanie nr 5.
Znaleźć obraz okręgu \((x+2)^2+(y-1)^2=4\) w symetrii osiowej względem osi \(OY\). Sporządź odpowiednie wykresy w układzie współrzędnych.
Zadanie nr 6.
Znaleźć oś symetrii trójkąta \(ABC\), gdzie \(A=(1,1), B=(5,1), C=(3,3)\).