Zadanie maturalne nr 6, matura 2018 (poziom rozszerzony)
Treść zadania:
Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej \(k\) i dla każdej liczby całkowitej \(m\) liczba \(k^3m−km^3\) jest podzielna przez \(6\).
Rozwiązanie zadania
Dana liczba jest podzielna przez 6 jeżeli jest podzielna przez 2 i 3. Przekształcimy nieco nasze wyrażenie:
\( k^3m-km^3=km(k^2-m^2)=km(k-m)(k+m) \)
Podzielność przez 2
Jeżeli obie liczby k i m lub choćby jedna z nich jest podzielna przez 2, to iloczyn \( km(k-m)(k+m) \) także jest podzielny przez 2.
(np. 2n razy dowolna liczba dzieli się przez 2).
Jeżeli zaś obie liczby nie są podzielne przez 2, czyli obie liczby są nieparzyste, to ich suma k+m jest parzyste.
Sprawdźmy to. Niech \(k=2a+1\) i \( m=2b+1\), gdzie a i b niech oznacza dowolna liczbę całkowitą. Sprawdźmy sumę:
\( k+m=2a +1 + 2b+1=2a+3b+2=2(a+b+1)\)
Zatem otrzymaliśmy iloczyn dwójki i pewnej liczby, a więc liczbę podzielną przez 2.
Ponieważ czynnik (k+m) występuje w naszym wyrażeniu będącym iloczynem, nasze wyrażenie jest podzielne przez 2.
Podzielność przez 3
Rozwiążmy to zagadnienie algebraicznie. Doprowadźmy nasze wyrażenie do iloczynu liczb, w którym przynajmniej jeden z czynników mnożenia jest liczbą podzielną przez trzy.
Przypadek 1
Liczba k lub m jest podzielna przez 3, więc iloczyn km(k-m)(k+m) jest również podzielny przez 3, gdyż przynajmniej jeden z czynników tego iloczynu jest podzielny przez 3.
Przypadek 2
Obie liczby k i m dają resztę z dzielenia przez 3 równą 2. Możemy nasze liczby zapisać w ogólnej postaci:
\( k=3a+2, m=3b+2\)
Podstawmy te liczby do naszego wyrażenia:
\( km(k-m)(k+m)=(3a+2)(3b+2)(3a+2-3b-2)(3a+2+3b+2) \)
Zajmijmy się tylko czynnikiem:
\((3a+2-3b-2)=(3a+3b)=3(a+b) \)
Otrzymaliśmy zatem liczbę podzielną przez 3
Przypadek 3
Obie liczby k i m dają resztę z dzielenia przez 3 równą 1. Możemy nasze liczby zapisać w ogólnej postaci:
\( k=3a+1, m=3b+1\)
Podstawmy te liczby do naszego wyrażenia:
\( km(k-m)(k+m)=(3a+1)(3b+1)(3a+1-3b-1)(3a+1+3b+1) \)
Zajmijmy się tylko czynnikiem:
\((3a+1-3b-1)=(3a+3b)=3(a+b) \)
Otrzymaliśmy zatem liczbę podzielną przez 3
Przypadek 4 i 5
Obie liczby k i m dają resztę z dzielenia przez 3 równą 1 lub 2. Możemy nasze liczby zapisać w ogólnej postaci:
\( k=3a+2, m=3b+1\)
lub
\( k=3a+1, m=3b+2\)
Podstawmy te liczby do naszego wyrażenia:
\( km(k-m)(k+m)=(3a+2)(3b+1)(3a+2-3b-1)(3a+2+3b+1) \)
lub
\( km(k-m)(k+m)=(3a+1)(3b+2)(3a+1-3b-2)(3a+1+3b+2) \)
Zajmijmy się tylko ostatnim czynnikiem w tym iloczynie w obu przypadkach:
\((3a+1+3b+2)=(3a+3b+3)=3(a+b+1) \)
Otrzymaliśmy zatem liczbę podzielną przez 3
Odpowiedź
Wykazaliśmy, że wyrażenie k3m − km3 jest podzielne przez 6.
© medianauka.pl, 2023-01-12, ZAD-4639
Zadania podobne
Zadanie nr 1 — maturalne.
Udowodnij, że każda liczba całkowita \(k\), która przy dzieleniu przez \(7\) daje resztę \(2\), ma tę własność, że reszta z dzielenia liczby \(3k^2\) przez \(7\) jest równa \(5\).
Zadanie nr 2 — maturalne.
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\) liczba \((2n+1)^2-1\) jest podzielna przez \(8\).