zadanie maturalne

Zadanie maturalne nr 7, matura 2018 (poziom rozszerzony)

Treść zadania:

Rozwiąż równanie \(2\cos^2{x}+3\sin{x}=0\) w przedziale \(\langle -\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\rangle\).


ksiązki Rozwiązanie zadania

Dane jest równanie:

\( 2cos^2x+3sinx=0 \)

Dziedziną tego równania jest przedział \( ⟨-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}⟩\).

Skorzystajmy ze wzoru na jedynkę trygonometryczną:

\( sin^x+cos^2x=1\)

Zatem

\( 2(1-sin^2x)+3sinx=0 \)

\( 2-2sin^2x+3sinx=0 \)

\( -2sin^2x+3sinx+2=0 \)

Dokonajmy podstawienia:

\( t=sinx \)

przy czym skoro

\( x\in ⟨-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}⟩\)

to:

\( t\in ⟨-1; 1⟩\)

bo

\( sin(-\frac{\pi}{2})=-1\)

\( sin(\frac{3\pi}{2})=1\).

Otrzymujemy zwykłe równanie kwadratowe:

\( -2t^2+3t+2=0\)

\( \Delta=25\)

\( t_1=\frac{-3-5}{-4}=2\notin D\)

\( t_2=\frac{-3+5}{-4}=-\frac{1}{2}\)

Znajdujemy rozwiązanie równania

\( sinx=-\frac{1}{2}\)

w przedziale

\( ⟨-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}⟩\)

rysunek

Na wykresie zaznaczono wykres y=sinx, rozpatrywany przedział i wykres y=-1/2. Widać dwa rozwiązania:

ksiązki Odpowiedź

\( x\in \lbrace -\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}\rbrace\)

© medianauka.pl, 2023-01-12, ZAD-4640

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Rozwiązać równanie:

a) \(tg2x=1\)

b) \(\sqrt{2}\sin{2x}=1\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Rozwiązać równanie:

a) \(ctg3x=\sqrt{3}\)

b) \(2\cos{3x}=\sqrt{2}\)

c) \(\cos{5x}=\sqrt{2}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 3 — maturalne.

Równanie \(2sinx+3cosx=6\) w przedziale \((0,2\pi)\)

A. nie ma rozwiązań rzeczywistych.

B. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.

C. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.

D. ma więcej niż dwa rozwiązania rzeczywiste.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 4 — maturalne.

Rozwiąż równanie \(\sin{x}+\sin{2x}+\sin{3x}=0\) w przedziale \(\langle 0,\pi \rangle\).

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.