Zadanie maturalne nr 7, matura 2018 (poziom rozszerzony)
Treść zadania:
Rozwiąż równanie \(2\cos^2{x}+3\sin{x}=0\) w przedziale \(\langle -\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\rangle\).
Rozwiązanie zadania
Dane jest równanie:
\( 2cos^2x+3sinx=0 \)
Dziedziną tego równania jest przedział \( ⟨-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}⟩\).
Skorzystajmy ze wzoru na jedynkę trygonometryczną:
\( sin^x+cos^2x=1\)
Zatem
\( 2(1-sin^2x)+3sinx=0 \)
\( 2-2sin^2x+3sinx=0 \)
\( -2sin^2x+3sinx+2=0 \)
Dokonajmy podstawienia:
\( t=sinx \)
przy czym skoro
\( x\in ⟨-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}⟩\)
to:
\( t\in ⟨-1; 1⟩\)
bo
\( sin(-\frac{\pi}{2})=-1\)
\( sin(\frac{3\pi}{2})=1\).
Otrzymujemy zwykłe równanie kwadratowe:
\( -2t^2+3t+2=0\)
\( \Delta=25\)
\( t_1=\frac{-3-5}{-4}=2\notin D\)
\( t_2=\frac{-3+5}{-4}=-\frac{1}{2}\)
Znajdujemy rozwiązanie równania
\( sinx=-\frac{1}{2}\)
w przedziale
\( ⟨-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}⟩\)
Na wykresie zaznaczono wykres y=sinx, rozpatrywany przedział i wykres y=-1/2. Widać dwa rozwiązania:
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2023-01-12, ZAD-4640
Zadania podobne
Zadanie nr 2.
Rozwiązać równanie:
a) \(ctg3x=\sqrt{3}\)
b) \(2\cos{3x}=\sqrt{2}\)
c) \(\cos{5x}=\sqrt{2}\)
Zadanie nr 3 — maturalne.
Równanie \(2sinx+3cosx=6\) w przedziale \((0,2\pi)\)
A. nie ma rozwiązań rzeczywistych.
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.
C. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.
D. ma więcej niż dwa rozwiązania rzeczywiste.
Zadanie nr 4 — maturalne.
Rozwiąż równanie \(\sin{x}+\sin{2x}+\sin{3x}=0\) w przedziale \(\langle 0,\pi \rangle\).