Zadanie maturalne nr 8, matura 2018 (poziom rozszerzony)
Treść zadania:
Liczba \(\frac{2}{5}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)=5x^3−7x^2−3x+p\). Wyznacz pozostałe pierwiastki tego wielomianu i rozwiąż nierówność \(W(x)>0\).
Rozwiązanie zadania
Ponieważ liczba 2/5 jest pierwiastkiem wielomianu W(x), więc W(2/5)=0:
\(5\cdot(\frac{2}{5})^3-7\cdot (\frac{2}{5})^2-3\cdot \frac{2}{5}+p=0\)
\(\frac{8}{25}-\frac{28}{25}-\frac{30}{25}+p=0\)
\(-\frac{50}{25}+p=0\)
\(p=2\)
Ponadto ponieważ \(\frac{2}{5}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)=5x^3-7x^2-3x+2\), zatem wielomian ten dzieli się bez reszty przez \( x-\frac{2}{5}\). Wykonajmy to dzielenie:
\((5x^3-7x^2-3x+2):(x-\frac{2}{5})=5x^2-5x-5\)
Znajdźmy jeszcze pierwiastki trójmianu kwadratowego \(5x^2-5x-5\).
\(\Delta=25+100=125=5\cdot5^2\)
\(\sqrt{\Delta}=5\sqrt{5}\)
\(x_1=\frac{5-5\sqrt{5}}{10}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\)
\(x_1=\frac{5+5\sqrt{5}}{10}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)
Rozwiążmy jeszcze nierówność \( W(x)>0\). Mamy wszystkie pierwiastki, rozwiązanie możemy odczytać z wykresu:
Odpowiedź
Pierwiastki wielomianu W(x) to:
\(x_1=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\)
\(x_2=\frac{2}{5}\)
\(x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)
Rozwiązaniem nierówności W(x)>0 jest przedział:
\(x\in (\frac{1-\sqrt{5}}{2};\frac{2}{5})\cup (\frac{1+\sqrt{5}}{2};+\infty)\)
© medianauka.pl, 2023-01-14, ZAD-4642
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Rozwiązać nierówność:
a) \(x(x-2)(x-1)(x+3)(x+4)\geq 0\),
b) \(x^2(x-2)^2(x-1)^4(x+3)^5(x+4)\leq 0\).
Zadanie nr 7.
Dla jakich wartości parametru \(m\) suma odwrotności pierwiastków równania \(x^2-2(m+1)x+(m^2+3m-18)=0\) ma wartość ujemną?
Zadanie nr 8 — maturalne.
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \(x^2 + (m+1)x−m^2+1=0\) ma dwa rozwiązania rzeczywiste \(x_1\) i \(x_2\) \((x_1\neq x_2)\), spełniające warunek \(x^3_1+x^3_2>−7x_1x_2\).
Zadanie nr 9 — maturalne.
Reszta z dzielenia wielomianu \(W(x)=4x^3-6x^2-(5m+1)x-2m\) przez dwumian \(x+2\) jest równa (−30). Oblicz \(m\) i dla wyznaczonej wartości \(m\) rozwiąż nierówność \(W(x)\geq 0\).