zadanie maturalne

Zadanie maturalne nr 8, matura 2018 (poziom rozszerzony)

Treść zadania:

Liczba \(\frac{2}{5}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)=5x^3−7x^2−3x+p\). Wyznacz pozostałe pierwiastki tego wielomianu i rozwiąż nierówność \(W(x)>0\).


ksiązki Rozwiązanie zadania

Ponieważ liczba 2/5 jest pierwiastkiem wielomianu W(x), więc W(2/5)=0:

\(5\cdot(\frac{2}{5})^3-7\cdot (\frac{2}{5})^2-3\cdot \frac{2}{5}+p=0\)

\(\frac{8}{25}-\frac{28}{25}-\frac{30}{25}+p=0\)

\(-\frac{50}{25}+p=0\)

\(p=2\)

Ponadto ponieważ \(\frac{2}{5}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)=5x^3-7x^2-3x+2\), zatem wielomian ten dzieli się bez reszty przez \( x-\frac{2}{5}\). Wykonajmy to dzielenie:

\((5x^3-7x^2-3x+2):(x-\frac{2}{5})=5x^2-5x-5\)

dzielenie

Znajdźmy jeszcze pierwiastki trójmianu kwadratowego \(5x^2-5x-5\).

\(\Delta=25+100=125=5\cdot5^2\)

\(\sqrt{\Delta}=5\sqrt{5}\)

\(x_1=\frac{5-5\sqrt{5}}{10}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\)

\(x_1=\frac{5+5\sqrt{5}}{10}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)

Rozwiążmy jeszcze nierówność \( W(x)>0\). Mamy wszystkie pierwiastki, rozwiązanie możemy odczytać z wykresu:

wykres

ksiązki Odpowiedź

Pierwiastki wielomianu W(x) to:

\(x_1=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\)

\(x_2=\frac{2}{5}\)

\(x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)

Rozwiązaniem nierówności W(x)>0 jest przedział:

\(x\in (\frac{1-\sqrt{5}}{2};\frac{2}{5})\cup (\frac{1+\sqrt{5}}{2};+\infty)\)


© medianauka.pl, 2023-01-14, ZAD-4642

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Rozwiązać nierówność:

a) \(x(x-2)(x-1)(x+3)(x+4)\geq 0\),

b) \(x^2(x-2)^2(x-1)^4(x+3)^5(x+4)\leq 0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Rozwiązać nierówność \((x-4)(x+3)(x^4+1)(x-x^2-3)>0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Rozwiązać nierówność \(x^4+8x^3-3x^2-26x-16\geq 0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Rozwiązać nierówność \(\frac{(x-5)(x+2)}{x-1}> 0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Rozwiąż nierówność: \(\frac{x^4-2x^2+1}{x^2-2}\leq 0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Rozwiązać nierówność \(\frac{x^3+9}{x^2-9}< x-1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Dla jakich wartości parametru \(m\) suma odwrotności pierwiastków równania \(x^2-2(m+1)x+(m^2+3m-18)=0\) ma wartość ujemną?

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 8 — maturalne.

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \(x^2 + (m+1)x−m^2+1=0\) ma dwa rozwiązania rzeczywiste \(x_1\) i \(x_2\) \((x_1\neq x_2)\), spełniające warunek \(x^3_1+x^3_2>−7x_1x_2\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 9 — maturalne.

Reszta z dzielenia wielomianu \(W(x)=4x^3-6x^2-(5m+1)x-2m\) przez dwumian \(x+2\) jest równa (−30). Oblicz \(m\) i dla wyznaczonej wartości \(m\) rozwiąż nierówność \(W(x)\geq 0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.