Zadanie maturalne nr 10, matura 2018 (poziom rozszerzony)
Treść zadania:
Punkt \(A=(7,−1)\) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Obie współrzędne wierzchołka \(C\) są liczbami ujemnymi. Okrąg wpisany w trójkąt ABC ma równanie \(x^2+y^2=10\). Oblicz współrzędne wierzchołków \(B\) i \(C\) tego trójkąta.
Rozwiązanie zadania
Zadanie to rozwiążemy analitycznie w kilku etapach.
Sporządźmy najpierw rysunek poglądowy.
Etap 1
Przez punkt A przechodzą proste m i n. Jak znaleźć ich równania? Możemy skorzystać z własności przesunięcia wykresu funkcji f(x)=ax (pęk prostych w środku układu współrzędnych) o wektor [7,-1] do punktu A.
Korzystamy ze wzoru
wykresu funkcji \(y=f(x)\) przesuniętej w układzie współrzędnych o wektor \( \vec{v}=[p,q]\)
\( y=a(x-7)-1\)
\( y=ax-7a-1\)
Otrzymaliśmy równanie prostych m i n w postaci kierunkowej, a w ogólnej Ax+By+C=0 mamy:
\( ax-y-7a-1=0\)
Przy czym
\( A=a, B=-1, C=-7a-1\)
Skorzystamy teraz z faktu, że punkt L leży na prostej m i jest oddalony od środka układu współrzędnych o długość promienia danego okręgu, którego promień wynosi \( r=\sqrt{10} \).
Wzór na odległość d prostej o równaniu ogólnym Ax+By+C=0 od punktu \(P=(x_0,y_0)\) jest następujący:
\(d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\)
U nas P=(0,0), A, B i C wyliczyliśmy wcześniej, a d=r, więc:
\( \frac{|-7a-1|}{\sqrt{a^2+1}}=\sqrt{10}\)
\( (-7a-1)^2=10(a^2+1)\)
\( 39a^2+14a+1=10a^2+10\)
\( 39a^2+14a-9=0\)
\( \Delta=196+4\cdot 9\cdot 39=1404+196=1600\)
\( \sqrt{\Delta}=40\)
\( a_1=\frac{-14-40}{78}=-\frac{9}{13}\)
\( a_2=\frac{-14+40}{78}=\frac{1}{3}\)
Mamy dwa współczynniki kierunkowe prostej, która przechodzi przez punkt A. Nie mamy współczynnika b. Zapiszmy postać kierunkową tych prostych y=ax+b i wyznaczmy b z tego równania mając dane x i y ze współrzędnych punktu A i wyliczone wartości współczynnika a.
1) Pierwsza prosta
\( -1=\frac{-9}{13}\cdot 7+b\)
\( b=-1+\frac{63}{13}\)
\( b=\frac{50}{13}\)
2) Druga prosta
\( -1=\frac{1}{3}\cdot 7+b\)
\( b=-1-\frac{7}{3}\)
\( b=-\frac{10}{3}\)
Otrzymaliśmy dwie proste (zawierające ramiona naszego trójkąta AB i AC) m i n o równaniach:
\(m: y=-\frac{9}{13}x+\frac{50}{13}\)
\(n: y=\frac{1}{3}x-\frac{10}{3}\)
Skąd wiadomo które równanie opisuje którą prostą? Można zauważyć, że równanie \(y=-\frac{9}{13}x+\frac{50}{13}\) nie przechodzi przez trzecią ćwiartkę układu współrzędnych (ma ujemny współczynnik kierunkowy i dodatni współczynnik b). Z warunków zadania wynika, że punkt C leży właśnie w III ćwiartce, a więc prosta ta nie może być prostą n.
Etap 2
Zauważmy, że symetralna boku AB jest prostopadła do m, przechodzi przez początek układu współrzędnych, a także przez punkt C (z uwagi na to, iż trójkąt ABC jest trójkątem równoramiennym).
Zatem prosta l przechodzi przez początek układu współrzędnych i ma współczynnik kierunkowy odwrotny i przeciwny do współczynnika kierunkowego prostej m. Zatem prosta l ma równanie:
\(y=\frac{13}{9}x\)
Punkt C leży na prostej l o danym równaniu i na prostej n o danym równaniu. Jego współrzędne x i y obliczymy poprzez rozwiązanie układu równań tych prostych:
\(y=\begin{cases}\frac{1}{3}x-\frac{10}{3}\\ y=\frac{13}{9}x\end{cases}\)
\(\frac{1}{3}x-\frac{10}{3}=\frac{13}{9}x/\cdot 9\)
\(3x-30-13x=0\)
\(x=-3\)
\(y=\frac{13}{9}\cdot (-3)=-\frac{13}{3}\)
\(C=(-3,-\frac{13}{3})\)
Punkt L jest środkiem odcinka AB. Jeśli poznamy jego współrzędne i mając dane współrzędne punktu A, łatwo wyliczymy współrzędne punktu B. Jak znaleźć współrzędne punktu L? Punkt tej leży na prostej m i l. Rozwiążemy układ równań:
\(y=\begin{cases}-\frac{9}{13}x+\frac{50}{13}\\ y=\frac{13}{9}x\end{cases}\)
\(-\frac{9}{13}x+\frac{50}{13}=\frac{13}{9}x/\cdot 117\)
\(-81x+450=169x\)
\(250x=450\)
\(x=\frac{450}{250}=\frac{9}{5}\)
\(y=\frac{13}{9}\cdot \frac{9}{5}=\frac{13}{5}\)
\(L=(\frac{9}{5},\frac{13}{5})\)
Jeżeli współrzędne punktu B oznaczymy przez
\(B=(x_B,y_B)\),
to własności środka odcinka mamy:
\(L=(\frac{7+x_B}{2}, \frac{-1+y_B}{2})\)
czyli:
\( \frac{7+x_B}{2}=\frac{9}{5}\)
\(5(7+x_B)=18\)
\(35+5x_B=18\)
\(x_B=-\frac{17}{5}\)
oraz
\( \frac{-1+y_B}{2}=\frac{13}{5}\)
\(-5+5y_B=26\)
\(y_B=\frac{31}{5}\)
Mamy odpowiedź:
Odpowiedź
\(C=(-3,-\frac{13}{3})\)
\(B=(-\frac{17}{5}, \frac{31}{5})\)
© medianauka.pl, 2023-01-15, ZAD-4644
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Dane są punkty \(A=(-3,-2), B=(2, -2)\). Obliczyć długość odcinka \(\overline{AB}\).
Zadanie nr 2.
Dany jest punkt \(A=(1,4)\). Znaleźć taki punkt \(B\), że \(|\overline{AB}|=1\) i który leży na prostej \(x=\frac{1}{2}\).
Zadanie nr 3.
Obliczyć pole i obwód trójkąta prostokątnego, wyznaczonego przez punkty \(A=(1,2), B=(1,3), C=(4,1)\).
Zadanie nr 4.
Dany jest odcinek o końcach \(A=(2+\sqrt{2}, 2), \ B=(-4+\sqrt{2}, -4)\). Znaleźć współrzędne środka odcinka \(\overline{AB}\).
Zadanie nr 5.
Znaleźć środek kwadratu wyznaczonego przez punkty \(A=(0,0), B=(1,2), C=(3,1), D=(2,-1)\).
Zadanie nr 6.
Znaleźć równanie symetralnej odcinka \(\overline{AB}\), gdzie \(A=(1,4), \ B=(-2, 1)\).
Zadanie nr 7 — maturalne.
W układzie współrzędnych dane są punkty \(A=(a,6)\) oraz \(B=(7,b)\). Środkiem odcinka \(AB\) jest punkt \(M=(3,4)\). Wynika stąd, że:
A. \(a=5\) i \(b=5\)
B. \(a=-1\) i \(b=2\)
C. \(a=4\) i \(b=10\)
D. \(a=-4\) i \(b=-2\)
Zadanie nr 8 — maturalne.
Punkty \(A=(30,32)\) i \(B=(0,8)\) są sąsiednimi wierzchołkami czworokąta \(ABCD \) wpisanego w okrąg. Prosta o równaniu \(x-y+2=0\) jest jedyną osią symetrii tego czworokąta i zawiera przekątną \(AC\). Oblicz współrzędne wierzchołków \(C\) i \(D\) tego czworokąta.
Zadanie nr 9 — maturalne.
Parabola o równaniu \(y=2-\frac{1}{2}x^2\) przecina oś \(Ox\) układu współrzędnych w punktach \(A=(- 2,0)\) i \(B=(2,0)\). Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne \(ABCD\), których dłuższą podstawą jest odcinek \(AB\), a końce \(C\) i \(D\) krótszej podstawy leżą na paraboli (zobacz rysunek).
Wyznacz pole trapezu \(ABCD\) w zależności od pierwszej współrzędnej wierzchołka \(C\). Oblicz współrzędne wierzchołka \(C\) tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe.
Zadanie nr 10 — maturalne.
Odległość początku układu współrzędnych od prostej o równaniu \(y = 2x + 4\) jest równa
A. \(\frac{\sqrt{5}}{5}\)
B. \(\frac{4\sqrt{5}}{5}\)
C. \(\frac{4}{5}\)
D. \(4\)
Zadanie nr 11 — maturalne.
Dane są punkty o współrzędnych \(A=(−2, 5)\) oraz \(B=(4, −1)\). Średnica okręgu wpisanego
w kwadrat o boku \(AB\) jest równa
A. \(12\)
B. \(6\)
C. \(6\sqrt{2}\)
D. \(2\sqrt{6}\)
Zadanie nr 12 — maturalne.
Dany jest punkt \(A=(−18,10)\). Prosta o równaniu \(y=3x\) jest symetralną odcinka \(AB\). Wyznacz współrzędne punktu \(B\).
Zadanie nr 13 — maturalne.
Punkt B jest obrazem punktu \(A=(−3,5)\) w symetrii względem początku układu współrzędnych. Długość odcinka \(AB\) jest równa
A. \(2\sqrt{34}\)
B. \(8\)
C. \(\sqrt{34}\)
D. \(12\)
Zadanie nr 14 — maturalne.
Punkty \(K=(4,−10)\) i \(L=(b,2)\) są końcami odcinka \(KL\). Pierwsza współrzędna środka odcinka \(KL\) jest równa (−12). Wynika stąd, że
A. \(b=-28\)
B. \(b=-14\)
C. \(b=-24\)
D. \(b=-10\)