Zadanie maturalne nr 10, matura 2018 (poziom rozszerzony)
Treść zadania:
Punkt \(A=(7,−1)\) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Obie współrzędne wierzchołka \(C\) są liczbami ujemnymi. Okrąg wpisany w trójkąt ABC ma równanie \(x^2+y^2=10\). Oblicz współrzędne wierzchołków \(B\) i \(C\) tego trójkąta.
Rozwiązanie zadania
Zadanie to rozwiążemy analitycznie w kilku etapach.
Sporządźmy najpierw rysunek poglądowy.
Etap 1
Przez punkt A przechodzą proste m i n. Jak znaleźć ich równania? Możemy skorzystać z własności przesunięcia wykresu funkcji f(x)=ax (pęk prostych w środku układu współrzędnych) o wektor [7,-1] do punktu A.
Korzystamy ze wzoru
wykresu funkcji \(y=f(x)\) przesuniętej w układzie współrzędnych o wektor \( \vec{v}=[p,q]\)
\( y=a(x-7)-1\)
\( y=ax-7a-1\)
Otrzymaliśmy równanie prostych m i n w postaci kierunkowej, a w ogólnej Ax+By+C=0 mamy:
\( ax-y-7a-1=0\)
Przy czym
\( A=a, B=-1, C=-7a-1\)
Skorzystamy teraz z faktu, że punkt L leży na prostej m i jest oddalony od środka układu współrzędnych o długość promienia danego okręgu, którego promień wynosi \( r=\sqrt{10} \).
Wzór na odległość d prostej o równaniu ogólnym Ax+By+C=0 od punktu \(P=(x_0,y_0)\) jest następujący:
\(d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\)
U nas P=(0,0), A, B i C wyliczyliśmy wcześniej, a d=r, więc:
\( \frac{|-7a-1|}{\sqrt{a^2+1}}=\sqrt{10}\)
\( (-7a-1)^2=10(a^2+1)\)
\( 39a^2+14a+1=10a^2+10\)
\( 39a^2+14a-9=0\)
\( \Delta=196+4\cdot 9\cdot 39=1404+196=1600\)
\( \sqrt{\Delta}=40\)
\( a_1=\frac{-14-40}{78}=-\frac{9}{13}\)
\( a_2=\frac{-14+40}{78}=\frac{1}{3}\)
Mamy dwa współczynniki kierunkowe prostej, która przechodzi przez punkt A. Nie mamy współczynnika b. Zapiszmy postać kierunkową tych prostych y=ax+b i wyznaczmy b z tego równania mając dane x i y ze współrzędnych punktu A i wyliczone wartości współczynnika a.
1) Pierwsza prosta
\( -1=\frac{-9}{13}\cdot 7+b\)
\( b=-1+\frac{63}{13}\)
\( b=\frac{50}{13}\)
2) Druga prosta
\( -1=\frac{1}{3}\cdot 7+b\)
\( b=-1-\frac{7}{3}\)
\( b=-\frac{10}{3}\)
Otrzymaliśmy dwie proste (zawierające ramiona naszego trójkąta AB i AC) m i n o równaniach:
\(m: y=-\frac{9}{13}x+\frac{50}{13}\)
\(n: y=\frac{1}{3}x-\frac{10}{3}\)
Skąd wiadomo które równanie opisuje którą prostą? Można zauważyć, że równanie \(y=-\frac{9}{13}x+\frac{50}{13}\) nie przechodzi przez trzecią ćwiartkę układu współrzędnych (ma ujemny współczynnik kierunkowy i dodatni współczynnik b). Z warunków zadania wynika, że punkt C leży właśnie w III ćwiartce, a więc prosta ta nie może być prostą n.
Etap 2
Zauważmy, że symetralna boku AB jest prostopadła do m, przechodzi przez początek układu współrzędnych, a także przez punkt C (z uwagi na to, iż trójkąt ABC jest trójkątem równoramiennym).
Zatem prosta l przechodzi przez początek układu współrzędnych i ma współczynnik kierunkowy odwrotny i przeciwny do współczynnika kierunkowego prostej m. Zatem prosta l ma równanie:
\(y=\frac{13}{9}x\)
Punkt C leży na prostej l o danym równaniu i na prostej n o danym równaniu. Jego współrzędne x i y obliczymy poprzez rozwiązanie układu równań tych prostych:
\(y=\begin{cases}\frac{1}{3}x-\frac{10}{3}\\ y=\frac{13}{9}x\end{cases}\)
\(\frac{1}{3}x-\frac{10}{3}=\frac{13}{9}x/\cdot 9\)
\(3x-30-13x=0\)
\(x=-3\)
\(y=\frac{13}{9}\cdot (-3)=-\frac{13}{3}\)
\(C=(-3,-\frac{13}{3})\)
Punkt L jest środkiem odcinka AB. Jeśli poznamy jego współrzędne i mając dane współrzędne punktu A, łatwo wyliczymy współrzędne punktu B. Jak znaleźć współrzędne punktu L? Punkt tej leży na prostej m i l. Rozwiążemy układ równań:
\(y=\begin{cases}-\frac{9}{13}x+\frac{50}{13}\\ y=\frac{13}{9}x\end{cases}\)
\(-\frac{9}{13}x+\frac{50}{13}=\frac{13}{9}x/\cdot 117\)
\(-81x+450=169x\)
\(250x=450\)
\(x=\frac{450}{250}=\frac{9}{5}\)
\(y=\frac{13}{9}\cdot \frac{9}{5}=\frac{13}{5}\)
\(L=(\frac{9}{5},\frac{13}{5})\)
Jeżeli współrzędne punktu B oznaczymy przez
\(B=(x_B,y_B)\),
to własności środka odcinka mamy:
\(L=(\frac{7+x_B}{2}, \frac{-1+y_B}{2})\)
czyli:
\( \frac{7+x_B}{2}=\frac{9}{5}\)
\(5(7+x_B)=18\)
\(35+5x_B=18\)
\(x_B=-\frac{17}{5}\)
oraz
\( \frac{-1+y_B}{2}=\frac{13}{5}\)
\(-5+5y_B=26\)
\(y_B=\frac{31}{5}\)
Mamy odpowiedź:
Odpowiedź
\(C=(-3,-\frac{13}{3})\)
\(B=(-\frac{17}{5}, \frac{31}{5})\)
© medianauka.pl, 2023-01-15, ZAD-4644
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Jaka jest odległość między różnymi punktami \(A, B\), jeżeli \(|AC|=4, |BC|=5\)?
Zadanie nr 2.
Obliczyć odległość początku układu współrzędnych od okręgu o równaniu \((x-3)^2+(y-3)^2=4\).
Zadanie nr 3.
Obliczyć odległość punktu \(A=(-3,4)\) od prostej o równaniu \(y=-2x+2\).
Zadanie nr 4.
Obliczyć odległość punktu \(M=(1,2)\) od trójkąta wyznaczonego przez punkty \(A=(-1,0), B=(5,-1), C=(1,-3)\).
Zadanie nr 5.
Znaleźć współrzędne punktów, których odległość od prostej \(y=3x+2\) jest równa \(\sqrt{2}\).
Zadanie nr 6.
Dane są punkty \(A=(\frac{\sqrt{2}}{2},2\sqrt{2}), \ B=(\frac{1}{\sqrt{2}}, 3\sqrt{2}+1)\). Obliczyć odległość \(|AB|\).
Zadanie nr 7.
Oblicz odległość punktu \(P=(3,2)\) od prostej \(3x+4y-1=0\).
Zadanie nr 9 — maturalne.
W okręgu o środku w punkcie \(S\) poprowadzono cięciwę \(AB\), która utworzyła z promieniem \(AS\) kąt o mierze 31° (zobacz rysunek). Promień tego okręgu ma długość 10. Odległość punktu \(S\) od cięciwy \(AB\) jest liczbą z przedziału
A. \(\langle \frac{9}{2};\frac{11}{2}\rangle\)
B. \(\langle \frac{11}{2};\frac{13}{2}\rangle\)
C. \(\langle \frac{13}{2};\frac{19}{2}\rangle\)
D. \(\langle \frac{19}{2};\frac{37}{2}\rangle\)
Zadanie nr 10 — maturalne.
Odległość początku układu współrzędnych od prostej o równaniu \(y = 2x + 4\) jest równa
A. \(\frac{\sqrt{5}}{5}\)
B. \(\frac{4\sqrt{5}}{5}\)
C. \(\frac{4}{5}\)
D. \(4\)
Zadanie nr 11 — maturalne.
Prosta przechodząca przez punkty \(A=(8, −6)\) i \(B=(5, 15)\) jest styczna do okręgu o środku w punkcie \(O=(0, 0)\). Oblicz promień tego okręgu i współrzędne punktu styczności tego okręgu z prostą AB.